LN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
15 tháng 10 2023
1:
a: \(u_2=2\cdot1+3=5;u_3=2\cdot5+3=13;u_4=2\cdot13+3=29;\)
\(u_5=2\cdot29+3=61\)
b: \(u_2=u_1+2^2\)
\(u_3=u_2+2^3\)
\(u_4=u_3+2^4\)
\(u_5=u_4+2^5\)
Do đó: \(u_n=u_{n-1}+2^n\)
15 tháng 10 2023
a: \(\dfrac{u_n}{u_{n-1}}=\dfrac{3^n}{2^{n+1}}:\dfrac{3^{n-1}}{2^n}\)
\(=\dfrac{3^n}{3^{n-1}}\cdot\dfrac{2^n}{2^{n+1}}=\dfrac{3}{2}>1\)
=>(un) là dãy tăng
c: ĐKXĐ: n>=1
\(u_n=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\)
\(\dfrac{u_n}{u_{n-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}:\dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n-2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n-1}+\sqrt{n-2}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}< 1\)
=>Đây là dãy số giảm
NM
1
10 tháng 9 2023
\(u_n=\dfrac{3^n-1}{2^n}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}=\dfrac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{3^{n+1}-1}{2^{n+1}}-\dfrac{3^n-1}{2^n}\)
\(\Rightarrow u_{n+1}-u_n=\dfrac{2^n.3^{n+1}-2^n-2^{n+1}.3^n+2^{n+1}}{2^n.2^{n+1}}\)
\(=\dfrac{2^n.3^n\left(3-2\right)-2^n\left(2-1\right)}{2^{2n+1}}\)
\(=\dfrac{2^n.\left(3^n-1\right)}{2^{2n+1}}\)
\(=\dfrac{\left(3^n-1\right)}{2}>0\left(n>1\right)\)
Vậy dãy \(u_n\)đã cho tăng
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 11 2021
Dãy đã cho hiển nhiên là dãy dương
Ta sẽ chứng minh dãy đã cho bị chặn trên bởi 2 hay \(u_n\le2\) với mọi n
- Với \(n=1\Rightarrow u_1=\sqrt{2}< 2\) (đúng)
- Giả sử điều đó đúng với \(n=k\ge1\) hay \(u_k\le2\)
- Ta cần chứng minh với \(n=k+1\) cũng đúng
Hay \(u_{k+1}\le2\)
Ta có: \(u_{k+1}=\sqrt{2+u_k}\le\sqrt{2+2}=2\) (đpcm)
Vậy \(u_n\le2\)
Đặt \(v_n=\dfrac{1}{2}u_n\Rightarrow0< v_n\le1\) và \(\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\2v_{n+1}=\sqrt{2+2v_n}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4v_{n+1}^2=2+2v_n\Rightarrow v_n=2v_{n+1}^2-1\)
Do \(0< v_n\le1\) , đặt \(v_n=cos\left(x_n\right)\) với \(x_n\in\left(0;\pi\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{\pi}{4}\\cos\left(x_n\right)=2cos^2\left(x_{n+1}\right)-1=cos\left(2x_{n+1}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_n=2x_{n+1}\Rightarrow x_{n+1}=\dfrac{1}{2}x_n\)
\(\Rightarrow x_n\) là CSN với công bội \(\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x_n=\dfrac{\pi}{4}.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\)
\(\Rightarrow v_n=cos\left(x_n\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow u_n=2v_n=2cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\)
Dãy \(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\) giảm và thuộc \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) nên \(cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\) tăng
Do đó dãy số đã cho là dãy tăng.
P/s: đây là cách làm hoàn chỉnh có thứ tự (nhược điểm là rất dài). Có 1 cách khác đơn giản hơn là bằng 1 phép màu nào đó ngay từ đầu bạn đưa ra ngay dự đoán công thức tổng quát của dãy số là \(2cos\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)\) rồi chứng minh nó bằng quy nạp cũng được. Như vậy sẽ rất ngắn, cả bài chỉ 4-5 dòng nhưng lời giải hơi đột ngột
29 tháng 10 2023
\(u_n=\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)
\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)
\(=1-\dfrac{1}{n+1}< 1\)
=>Hàm số bị chặn trên tại \(u_n=1\)
\(n+1>=1\)
=>\(\dfrac{1}{n+1}< =1\)
=>\(-\dfrac{1}{n+1}>=-1\)
=>\(1-\dfrac{1}{n+1}>=-1+1=0\)
=>Hàm số bị chặn dưới tại 0
\(u_n=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\)
\(\dfrac{u_n}{u_{n+1}}=\dfrac{n}{n+1}:\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{n^2+2n}{n^2+2n+1}< 1\)
=>(un) là dãy số tăng
29 tháng 11 2023
\(U_n=\dfrac{an^2-1}{n^2+3}\)
\(=\dfrac{an^2+3a-3a-1}{n^2+3}\)
\(=a+\dfrac{-3a-1}{n^2+3}\)
Để dãy này là dãy tăng thì \(U_{n+1}>U_n\)
=>\(a+\dfrac{-3a-1}{\left(n+1\right)^2+3}>a+\dfrac{-3a-1}{n^2+3}\)
=>\(\dfrac{-3a-1}{\left(n+1\right)^2+3}>\dfrac{-3a-1}{n^2+3}\)
=>\(\dfrac{3a+1}{\left(n+1\right)^2+3}< \dfrac{3a+1}{n^2+3}\)(1)
TH1: 3a+1>0
=>a>-1/3
(1)=>\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}< \dfrac{1}{n^2+3}\)
=>\(\left(n+1\right)^2+3>n^2+3\)
=>\(\left(n+1\right)^2>n^2\)
=>\(n^2+2n+1-n^2>0\)
=>\(2n+1>0\)(luôn đúng với mọi n>=1)
TH2: 3a+1<0
=>a<-1/3
(2) trở thành \(\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2+3}>\dfrac{1}{n^2+3}\)
=>\(\left(n+1\right)^2+3< n^2+3\)
=>\(n^2+2n+1-n^2< 0\)
=>2n+1<0
=>2n<-1
=>\(n< -\dfrac{1}{2}\)(loại)
Vậy: \(a>-\dfrac{1}{3}\)
CM
20 tháng 5 2019
Ta có u n = n − 1 n + 1 = 1 − 2 n + 1
Xét hiệu u n + 1 − u n = 1 − 2 n + 2 − 1 − 2 n + 1
= 2 n + 1 − 2 n + 2 = 2 ( n + 2 ) − 2 ( n + 1 ) ( n + 1 ) . ( n + 2 ) = 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) > 0 ∀ n ∈ ℕ *
Kết luận dãy số ( u n ) là dãy số tăng.
Chọn đáp án D.