Câu hỏi của Lê Song Phương

Question

Xét sự hội tụ của dãy $u_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{n+n}$

Trương Nhật Minh · Accepted Answer

Ta có: $u_n>0$ Mặt khác: $u_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{n+n}< \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+...+\dfrac{1}{n}\ \Leftrightarrow u_n< n.\dfrac{1}{n}=1$ $0< u_n< 1$ nên $u_n$ bị chặn Xét tính đơn điệu dãy $u_n$ $u_{n+1}=\dfrac{1}{\left(n+1\right)+1}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)+2}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)+\left(n+1-1\right)}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)+\left(n+1\right)}\ =\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+...+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}$ $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n+1}\ =\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2\left(n+1\right)}-\dfrac{1}{n+1}\ =\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2\left(n+1\right)}\ =\dfrac{2\left(n+1\right)-\left(2n+1\right)}{2\left(2n+1\right)\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{2\left(2n+1\right)\left(n+1\right)}>0$ $\Rightarrow u_{n+1}>u_n$ Dãy $u_n$ là dãy tăng. Vậy $u_n$ bị chặn và tăng nghiêm ngặt nên $u_n$ hội tụ. đpcm Câu trả lời: Ta có: $u_n>0$ Mặt khác: $u_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{n+n}< \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+...+\dfrac{1}{n}\ \Leftrightarrow u_n< n.\dfrac{1}{n}=1$ $0< u_n< 1$ nên $u_n$ bị chặn Xét tính đơn điệu dãy $u_n$ $u_{n+1}=\dfrac{1}{\left(n+1\right)+1}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)+2}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)+\left(n+1-1\right)}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)+\left(n+1\right)}\ =\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+...+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}$ $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n+1}\ =\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2\left(n+1\right)}-\dfrac{1}{n+1}\ =\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2\left(n+1\right)}\ =\dfrac{2\left(n+1\right)-\left(2n+1\right)}{2\left(2n+1\right)\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{2\left(2n+1\right)\left(n+1\right)}>0$ $\Rightarrow u_{n+1}>u_n$ Dãy $u_n$ là dãy tăng. Vậy $u_n$ bị chặn và tăng nghiêm ngặt nên $u_n$ hội tụ. đpcm

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP