Question

[Pham Trong Bach]

Xét số thực a,b thỏa mãn b>1 và a ≤ b < a . Biểu thức P = log a b a + 2 log b a b  đạt giá trị nhỏ nhất khi

A. a = b 2 .

B. a 2 = b 3 .

C. a 3 = b 2 .

D. a 2 = b .

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Ta có  log a b b = log a b a . b a = log a b a − 1 .

Do đó

P = 2 2 log a b a − log a b a − 1 2 + 27 log a b a = 2 log a b a + 1 2 + 27 log a b a .

Đặt t = log a b a . Do  1 < a ≤ b 2 ⇒ a ≤ b   .

Suy ra 

1 t = 1 log a b a = log a a b = 1 − log a b ≤ 1 − log a a = 1 − 1 2 = 1 2 ⇒ t ≥ 2

Khi đó P = 2 t + 1 2 + 27 t = f t .

Khảo sát   f t trên 2 ; + ∞ , ta được f t  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 63 2  khi t=2.

Với  t = 2 ⇒ log a b a = 2 ⇔ a = b 2   .