Question

[Phạm Bá Gia Nhất]

Xác định các hệ số a,b sao cho \(x^4+ax^3+b⋮x^2-1\)

Answer 1

[ST]

Gọi thương của phép chia x⁴+ax³+b với x²-1 là Q

Ta có: \(x^4+ax^3+b=\left(x^2-1\right)Q=\left(x-1\right)\left(x+1\right)Q\)

Lần lượt cho x=1, x=-1 ta được:

\(\hept{\begin{cases}1+a+b=0\\1-a+b=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-1\\-a+b=-1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=0\\b=-1\end{cases}}}\)

Answer 2

[Trần Thanh Phương]

#ST cách 2 dùng định lý Bézout :

\(x^4+ax^3+b:x^2-1\)

\(=x^4+ax^3+b:\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

Áp dụng định lý Bézout ta có :

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=1^4+a\cdot1^3+b=0\\f\left(-1\right)=\left(-1\right)^4+a\cdot\left(-1\right)^3+b=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=a+b=-1\left(1\right)\\f\left(-1\right)=-a+b=-1\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=-1\end{cases}}\)