Question

[Nguyễn Tùng Dương]

X² - 2(m+1)x+2m+1=0

tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn:

x₁³ + x₂³=2019

Answer 1

[IS]

để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn thì 

\(\Delta'>0\)

=>\(\left(m+1\right)^2-\left(2m+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-2m-1>0\Leftrightarrow m^2>0\Leftrightarrow m\ne0\)

theo định lý vi et  ta có\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m+1\end{cases}}\)

ta có \(x_1^3+x_2^3=2019\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)=2019\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2\right)=2019\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]=2019\)

\(\Rightarrow2\left(m+1\right).\left[4\left(m+1\right)^3-3\left(2m+1\right)\right]=2019\)

\(=>2(m+1).\left[4m^2+8m+4-6m-3\right]=2019\)

\(\Rightarrow2\left(m+1\right)\left(4m^2+2m+1\right)-2019=0\)

\(\Rightarrow8m^3+4m^2+2m+8m^2+4m+2-2019=0\)

\(=>8m^3+12m^2+6m-2017=0\)

\(\Rightarrow m=5,8\left(\forall m\right)\)