Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có \(a\ge b\ge c\)
zì \(c\le b\)nên \(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a+2b\right)^2\)
do zậy ta chỉ cần chứng minh \(9ab\ge\left(a+2b\right)^2\)
tương đương zới \(a^2-5ab+4b^2\le0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-4b\right)\le0\)
zì \(a\ge b\)zà theo bất đẳng thức tam giác có \(a< b+c\le2b\le4b\)nên điều trên luôn đúng
zậy bất đẳng thức đc CM . dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi a=b=c hay tam giác ABC đều
đặt biể thức cần chứng minh là P
\(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}=\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)^2}=\dfrac{\dfrac{a^2}{\left(b+c\right)^2}}{\dfrac{a\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2}{a}\)
\(t\)ương tự
\(=>P\ge\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ba}+\dfrac{c^2}{ca+cb}]^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}=\dfrac{[\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{\dfrac{9}{4}}{a+b+c}=\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}\) dấu"=" xảy ra<=>a=b=c
\(\left(a+b+c\right)^2-9ab\le\left(a+b+c\right)^2-9a^2=\left(a+b+c-3a\right)\left(a+b+c+3a\right)=\left(b+c-2a\right)\left(4a+b+c\right)\)
Vì \(a\ge b\ge c\Leftrightarrow b+c-2a\le0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2-9ab\le0\)=> dpcm
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
\(\frac{a}{4}+b\geq 2\sqrt{\frac{ab}{4}}=\sqrt{ab}\)
\(\frac{a}{4}+c\geq 2\sqrt{\frac{ac}{4}}=\sqrt{ac}\)
\(\frac{a}{4}+d\geq 2\sqrt{\frac{ad}{4}}=\sqrt{ad}\)
\(\frac{a}{4}+e\geq 2\sqrt{\frac{ae}{4}}=\sqrt{ae}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow a+b+c+d+e\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{ad}+\sqrt{ae}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+d+e\geq \sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}+\sqrt{e})\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{4}=b=c=d=e\)
Ta có:
\(3a^3+7b^3\ge3a^3+6b^3\)
Dấu "=" xảy ra <=> b=0
Mặt khác :
\(3a^3+6b^3=3a^3+3b^3+3b^3\ge9ab^2\)(Theo bđt Cô-si)
=> đpcm
Mih ko chắc đug nhưg mà thấy avatar để hih chị hương là vào liền
Kb nha (Fan ECADCA)
\(3a^3+7b^3\ge3a^3+6b^3\)
\(=3a^3+3b^3+3b^3\)
\(\ge3\sqrt[3]{3.a^3.3.b^3.3.b^3}=9ab^2\)
Dấu = xảy ra khi a = b = 0
\(3a^3+\frac{7}{2}b^3+\frac{7}{2}b^3\ge3\sqrt[3]{3a^3.\frac{7}{2}b^3.\frac{7}{2}b^3}=ab^2.3\sqrt[3]{\frac{147}{4}}>9ab^2\)
\(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\ge0\)
\(\frac{1+a^2-1-ab}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{1+b^2-1-ab}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
\(\frac{a^2-ab}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b^2-ab}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
\(\frac{a^2-ab}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b^2-ab}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
\(\frac{\left(ab-1\right)\left(b-a\right)^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\left(1\right)\)
\(a\ge b\ge1=>ab\ge0\left(2\right)\)
(1)(2)=>đề bài
Bài này có nhiều cách, làm cách ngắn gọn, phổ thông nhé:
Với \(a,b\ge0\)Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm ta có:
\(1+a+b\ge3\sqrt[3]{1.a.b}=3\sqrt[3]{ab}\)
\(a+b+ab\ge3\sqrt[3]{a.b.ab}=3\sqrt[3]{a^2b^2}\)
\(\Rightarrow\left(1+a+b\right)\left(a+b+ab\right)\ge3\sqrt[3]{ab}.3\sqrt[3]{a^2b^2}=9ab\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=1\\a=b=ab\end{cases}\Leftrightarrow a=b=1}\)
(p/s đừng ti ck cho câu trả lời này nhé)