Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) AM là đường phân giác \(\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)\(\Rightarrow\widebat{BM}=\widebat{CM}\)
=> M là điểm chính giữa cung BC
=> OM _|_ BC (đpcm)
b) AN là phân giác \(\widehat{CAt}\)
=> \(\widehat{tAN}=\widehat{NAC}\)mà \(\widehat{tAN}=\widehat{NCB}\)(Tứ giác ANCB nội tiếp)
và \(\widehat{NAC}=\widehat{NMC}\)(tứ gics ANCB nội tiếp)
=> \(\widehat{NCB}=\widehat{NMC}\)
Xét tam giác NCD và tam giác NMC có:
\(\widehat{MNC}\)chung
\(\widehat{NCB}=\widehat{NMC}\left(cmt\right)\)
=> Tam giác NCD đồng dạng với tam giác NMC (g.g)
=> \(\widehat{NCM}=\widehat{NDC}\)mà \(\widehat{NDC}=90^o\)và \(\widehat{NCM}=90^o\)
=> NC _|_ CM
Xét tam giác NCM nội tiếp có NC _|_ CM
=> NM là đường kính
=> N,O,M thẳng hàng
c) Tam giác MAN nội tiếp đường kín MN
=> AM _|_ AN => Tam giác KAD vuông tại A
Xét tam giác KAD vuông tại A có AI là đường trung bình
=> AI=ID
=> Tam giác AID cân tại A
=> \(\widehat{IAD}=\widehat{IDA}\)(tính chất tam giác cân) hay \(\widehat{IAB}+\widehat{BAD}=\widehat{IDA}\)
Lại có \(\widehat{DAC}+\widehat{DCA}=\widehat{IDA}\)(tính chất góc ngoài)
\(\Rightarrow\widehat{IAB}+\widehat{BAD}=\widehat{DAC}+\widehat{DCA}\)
mà \(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)(AD là phân giác) => \(\widehat{IAB}=\widehat{DCA}\)
mà 2 góc này nằm ở vị trí góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
=> IA là tiếp tuyến của (O)
a) Xét (O) có :
AB là tiếp tuyến tại B
AC là tiếp tuyến tại C
AB cắt AC tại A
\(\Rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\)và OA là p/g \(\widehat{BOC}\)
Xét tg ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^o\)Mà 2 góc này đối nhau
\(\Rightarrow\)ABOC là tg nt
b) Xét (O) có
\(\widehat{ABE}\)là góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây BE
\(\widehat{BDE}\)là góc nt chắn cung BE
\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{BDE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BE}\)
Xét \(\Delta ABEvà\Delta ADB:\)
\(\widehat{BAD}\)chung
\(\widehat{ABE}=\widehat{BDE}\)
\(\Rightarrow\Delta ABE\infty\Delta ADB\left(gg\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)
c) Vì OA là p/g \(\widehat{BOC}\Rightarrow\widehat{BOA}=\widehat{COA}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)
Do ABOC là tg nt\(\Rightarrow\widehat{BOA}=\widehat{BCA}\)(cùng chắn cung AB)
Suy ra \(\widehat{AOC}=\widehat{ACB}\)
a.Ta có DE là đường kính của (O)
\(\Rightarrow EF\perp DF\)
Mà \(DE\perp BC=K\Rightarrow\widehat{EKI}=\widehat{EFD}=90^0\)
=> DFIK nội tiếp
b ) Ta có :
\(AK\perp DE,EF\perp DF\)
\(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{AKE}=90^0\)
\(\Rightarrow AFKE\) nội tiếp
Mà IK = HK , \(DE\perp BC=K\) => DE là trung trực của HI
\(\Rightarrow\widehat{DHA}=\widehat{DHK}=\widehat{DIK}=\widehat{DFK}=\widehat{DEA}\)
c ) Ta có : \(\widehat{EIK}=\widehat{DAK}\)do AFKE nội tiếp
\(\widehat{AKD}=\widehat{EKI}=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta AKD~\Delta EKI\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AK}{EK}=\frac{KD}{KI}\)
\(\Rightarrow KE.KD=KI.AK\)
Lại có : \(\widehat{AFI}=\widehat{AKD}=90^0\Rightarrow\Delta AFI~\Delta AKD\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AF}{AK}=\frac{AI}{AD}\Rightarrow AE.AD=AI.AK\)
Mà BCDF nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{AFB}=\widehat{ACD}\Rightarrow\Delta ABF~\Delta ADC\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AF}{AC}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AF.AD=AB.AC\)
\(\Rightarrow AB.AC=AI.AK\)
=> KI.AB.AC = AI.AK.KI= AI.KE.KD