Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
vẽ thêm tiếp tuyến MH cắt OA tại R, gọi I là giao điểm của OA và BC., K là giao điểm EF và OA
tam giác MKI vuông tại K có: MI^2=IK^2+ KM^2 (1)
tam giác MOH vuông tại H có MH^2= OM^2- OH^2 = OK^2+KM^2- OH^2 ( tam giác OKM vuông tại K)
chứng minh OK^2-OH^2=OK^2-OB^2=OK^2 - OI.OA( tam giác OAB vuông tại B có BI là đường cao, OB = OH =R)
=(OI + IK)^2 - OI(OI+2IK)=OI^2 + 2OI.IK+IK^2-OI^2- 2OI.IK=IK^2 ( IA = 2IK)
suy ra MH^2= IK^2+ KM^2 (2)
từ (1) và (2) suy ra MH = MI mà MH = MT ( t/c 2 tt cắt nhau), MI = MA ( cm tam giác MAI cân tại M)
suy ra MT = MA
1: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>AC\(\perp\)CB tại C
=>AC\(\perp\)BF tại C
Xét tứ giác EDBC có
\(\widehat{EDB}+\widehat{ECB}=90^0+90^0=180^0\)
=>EDBC là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác ADCF có
\(\widehat{ADF}=\widehat{ACF}=90^0\)
=>ADCF là tứ giác nội tiếp
2: EDBC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{DEC}+\widehat{DBC}=180^0\)
mà \(\widehat{DEC}+\widehat{IEC}=180^0\)(kề bù)
nên \(\widehat{IEC}=\widehat{DBC}\)
3: \(\widehat{IEC}=\widehat{DBC}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AC}\)(góc DBC là góc nội tiếp chắn cung AC)
\(\widehat{ICE}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{CA}\)(góc ICE là góc tạo bởi tiếp tuyến IC và dây cung CA)
Do đó: \(\widehat{IEC}=\widehat{ICE}\)
=>IE=IC
\(\widehat{IEC}+\widehat{IFC}=90^0\)(ΔFCE vuông tại C)
\(\widehat{ICE}+\widehat{ICF}=\widehat{FCE}=90^0\)
mà \(\widehat{IEC}=\widehat{ICE}\)
nên \(\widehat{IFC}=\widehat{ICF}\)
=>IF=IC
mà IC=IE
nên IF=IC=IE
=>I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCFE
Bài 2 :
Gọi BC và EF cắt OA lần lượt tại H và I
Dễ thấy OA là trung trực của BC
\(\Rightarrow OA\perp BC\) tại H
Vì E là trung điểm của AB , F là trung điểm AC nên EF // BC
\(\Rightarrow EF\perp OA\) tại I
Đồng thời EF đi qua trung điểm của AH
\(\Rightarrow IH=IA=\frac{AH}{2}\)
Áp dụng định lí Pytagoras và hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
\(MD^2=OM^2-OD^2=IM^2+OI^2-OC^2=IM^2+OH^2+2OH.HI+HI^2-OC^2\)
\(=IM^2+IA^2+OH.AH-\left(OC^2-OH^2\right)=AM^2+CH^2-CH^2=AM^2\)
Vậy MD = MA ( đpcm )
Chúc bạn học tốt !!
Gọi BC và EF cắt OA lần lượt tại H và I.
Dễ thấy OA là trung trực của BC => OA vuông góc BC (tại H)
Vì E là trung điểm AB, F là trung điểm AC nên EF// BC => EF vuông góc OA (tại I)
Đồng thời EF đi qua trung điểm của AH => IH = IA = AH/2
Áp dụng ĐL Pytagoras và hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
MD2 = OM2 - OD2 = IM2 + OI2 - OC2 = IM2 + OH2 + 2OH.HI + HI2 - OC2
= IM2 + IA2 + OH.AH - (OC2 - OH2) = AM2 + CH2 - CH2 = AM2
Vậy thì MD = MA (đpcm).