Question

[nguyenthachdai]

trong số các bạn ở đây ai biết về định lý BƠZU thì giảng hộ mình

Answer 1

[EDOGAWA CONAN]

Ví dụ 1

Cho f ( x ) = x 3 − 12 x 2 − 42 {\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42\,} . Phép chia đa thức f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} cho x − 3 {\displaystyle x-3\,} được thương là x 2 − 9 x − 27 {\displaystyle x^{2}-9x-27\,} và số dư là − 123 {\displaystyle -123\,} . Do đó, f ( 3 ) = − 123 {\displaystyle f(3)=-123\,} .

Ví dụ 2

Chứng minh rằng định lý Bézout đúng với đa thức bậc 2 f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} bằng các thao tác đại số:

f ( x ) x − r = a x 2 + b x + c x − r = a x 2 − a r x + a r x + b x + c x − r = a x ( x − r ) + ( b + a r ) x + c x − r = a x + ( b + a r ) ( x − r ) + c + r ( b + a r ) x − r = a x + b + a r + c + r ( b + a r ) x − r = a x + b + a r + a r 2 + b r + c x − r {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(x)}{x-r}}&={\frac {a{x^{2}}+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {a{x^{2}}-arx+arx+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {ax(x-r)+(b+ar)x+c}{x-r}}\\&=ax+{\frac {(b+ar)(x-r)+c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {a{r^{2}}+br+c}{x-r}}\end{aligned}}}

Nhân cả hai vế với (x − r) ta có

f ( x ) = a x 2 + b x + c = ( a x + b + a r ) ( x − r ) + a r 2 + b r + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c=(ax+b+ar)(x-r)+{a{r^{2}}+br+c}} .

Vì R = a r 2 + b r + c {\displaystyle R=ar^{2}+br+c} là số dư, nên ta có điều phải chứng minh f ( r ) = R {\displaystyle f(r)=R} .

Answer 2

[EDOGAWA CONAN]

Ví dụ 1

Cho f ( x ) = x 3 − 12 x 2 − 42 {\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42\,} . Phép chia đa thức f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} cho x − 3 {\displaystyle x-3\,} được thương là x 2 − 9 x − 27 {\displaystyle x^{2}-9x-27\,} và số dư là − 123 {\displaystyle -123\,} . Do đó, f ( 3 ) = − 123 {\displaystyle f(3)=-123\,} .

Ví dụ 2

Chứng minh rằng định lý Bézout đúng với đa thức bậc 2 f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} bằng các thao tác đại số:

f ( x ) x − r = a x 2 + b x + c x − r = a x 2 − a r x + a r x + b x + c x − r = a x ( x − r ) + ( b + a r ) x + c x − r = a x + ( b + a r ) ( x − r ) + c + r ( b + a r ) x − r = a x + b + a r + c + r ( b + a r ) x − r = a x + b + a r + a r 2 + b r + c x − r {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(x)}{x-r}}&={\frac {a{x^{2}}+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {a{x^{2}}-arx+arx+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {ax(x-r)+(b+ar)x+c}{x-r}}\\&=ax+{\frac {(b+ar)(x-r)+c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {a{r^{2}}+br+c}{x-r}}\end{aligned}}}

Nhân cả hai vế với (x − r) ta có

f ( x ) = a x 2 + b x + c = ( a x + b + a r ) ( x − r ) + a r 2 + b r + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c=(ax+b+ar)(x-r)+{a{r^{2}}+br+c}} .

Vì R = a r 2 + b r + c {\displaystyle R=ar^{2}+br+c} là số dư, nên ta có điều phải chứng minh f ( r ) = R {\displaystyle f(r)=R} .