Question

[Dương Nguyễn]

Trong Oxy với a, b là những số cho trước \(F^{ }_{\left(M\right)}=M'\left(x';y'\right)\) trong đó \(\left[{}\begin{matrix}x'=x.cos\alpha-y.sin\alpha+a\\y'=x.sin\alpha+y.cos\alpha+b\end{matrix}\right.\)

a) F có phải là phép dời hình? Chứng minh

b) Trong trường hợp nào của \(\alpha\) thì F là phép tịnh tiến? Chứng minh

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Gọi \(A\left(x_1;y_1\right)\) và \(B\left(x_2;y_2\right)\) là 2 điểm bất kì

\(A'\left(x_1';x_2'\right)\) và \(B'\left(x_2';y_2'\right)\) lần lượt là ảnh của A và B qua phép biến hình F

Trong đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1'=x_1cos\alpha-y_1sin\alpha+a\\y_1'=x_1sin\alpha+y_1cos\alpha+b\end{matrix}\right.\) 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_2'=x_2cos\alpha-y_2sin\alpha+a\\y'_2=x_2sin\alpha+y_2cos\alpha+b\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(AB=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\)

\(A'B'=\sqrt{\left(x_2cos\alpha-y_2sin\alpha-x_1cos\alpha+y_1sin\alpha\right)^2+\left(x_2sin\alpha+y_2cos\alpha-x_1sin\alpha-y_1cos\alpha\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left[\left(x_2-x_1\right)cos\alpha+\left(y_1-y_2\right)sin\alpha\right]^2+\left[\left(x_2-x_1\right)sin\alpha-\left(y_1-y_2\right)cos\alpha\right]^2}\)

\(=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}=AB\)

\(\Rightarrow\) F là phép dời hình

b.

F là phép tịnh tiến khi \(\alpha=0\)

Thật vậy, khi \(\alpha=0\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x'=x+a\\y'=y+b\end{matrix}\right.\)

Đây là biểu thức của phép tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)\)