Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=lim\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{1}=lim\left[n\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)\right]=+\infty.2=+\infty\)
\(B=lim\frac{8^3.64^n-9.27^n}{4^4.64^n+5^3.25^n}=\frac{8^3-9.\left(\frac{27}{64}\right)^n}{4^4+5^3\left(\frac{25}{64}\right)^n}=\frac{8^3}{4^4}=2\)
\(1;-\frac{1}{2};\frac{1}{4}...\) là dãy cấp số nhân lùi vô hạn có \(u_1=1\) và \(q=-\frac{1}{2}\)
Do \(\left|q\right|< 1\) nên theo công thức tổng cấp số nhân:
\(S_n=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\)
a) \( - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + ...\)
Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = - \frac{1}{2}\) và công bội \(q = - \frac{1}{2}\) nên: \( - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + ... = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right)}} = - \frac{1}{3}\)
b) \(\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{64}} + ... + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} + ...\)
Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{4}\) và công bội \(q = \frac{1}{4}\) nên: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{64}} + ... + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} + ... = \frac{{\frac{1}{4}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}\)
a/ \(=lim\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\infty}=0\)
b/ \(=lim\frac{6n+1}{\sqrt{n^2+5n+1}+\sqrt{n^2-n}}=\frac{6+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}=\frac{6}{1+1}=3\)
c/ \(=lim\frac{6n-9}{\sqrt{3n^2+2n-1}+\sqrt{3n^2-4n+8}}=lim\frac{6-\frac{9}{n}}{\sqrt{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{3-\frac{4}{n}+\frac{8}{n^2}}}=\frac{6}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
d/ \(=lim\frac{\left(\frac{2}{6}\right)^n+1-4\left(\frac{4}{6}\right)^n}{\left(\frac{3}{6}\right)^n+6}=\frac{1}{6}\)
e/ \(=lim\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^n-\left(\frac{4}{5}\right)^n+1}{\left(\frac{3}{5}\right)^n+\left(\frac{4}{5}\right)^n-1}=\frac{1}{-1}=-1\)
f/ Ta có công thức:
\(1+3+...+\left(2n+1\right)^2=\left(n+1\right)^2\)
\(\Rightarrow lim\frac{1+3+...+2n+1}{3n^2+4}=lim\frac{\left(n+1\right)^2}{3n^2+4}=lim\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}{3+\frac{4}{n^2}}=\frac{1}{3}\)
g/ \(=lim\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=lim\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1-0=1\)
h/ Ta có: \(1^2+2^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)
\(\Rightarrow lim\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=lim\frac{2n+1}{6n+12}=lim\frac{2+\frac{1}{n}}{6+\frac{12}{n}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
Đặt \(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+....+\frac{1}{n\left(n+1\right)}=A\)
\(\Leftrightarrow A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\)
a/ \(=lim\frac{3\left(\frac{2}{7}\right)^n-8}{4.\left(\frac{3}{7}\right)^n+5}=-\frac{8}{5}\)
b/ \(=lim\frac{6.4^n-\frac{2}{9}.6^n}{\frac{1}{2}.6^n+4.3^n}=lim\frac{6\left(\frac{4}{6}\right)^n-\frac{2}{9}}{\frac{1}{2}+4.\left(\frac{3}{6}\right)^n}=\frac{-\frac{2}{9}}{\frac{1}{2}}=-\frac{4}{9}\)
c/ \(=lim\frac{\left(-\frac{3}{5}\right)^n+2}{\left(\frac{1}{5}\right)^n-1}=\frac{2}{-1}=-2\)
d/ \(=lim\frac{n\left(n+1\right)}{2\left(n^2+n+1\right)}=lim\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}=\frac{1}{2}\)
Lời giải:
Xét hạng tử tổng quát:
\(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1)}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Cho $n=1,2,...$ thì:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
......
\(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
\(\Rightarrow U_n=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
\(\Rightarrow \lim\limits U_n=\lim (1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})=1\)
1. Bạn ghi lại đề, mẫu số ko rõ
2. \(=lim\left[-8n^6\left(1-\frac{4}{n^2}\right)^3\right]=-\infty.1=-\infty\)
3. Dãy số là CSC với \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=-1\\d=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow u_n=-1+\left(n-1\right)3=3n-4\)
\(\Rightarrow lim\frac{3n-4}{5n+2020}=lim\frac{3-\frac{4}{n}}{5+\frac{2020}{n}}=\frac{3}{5}\)
4.
\(u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{3}{2}\Rightarrow u_{n+1}-3=\frac{1}{2}\left(u_n-3\right)\)
Đặt \(v_n=u_n-3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=-2\\v_{n+1}=\frac{1}{2}v_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(\frac{1}{2}\Rightarrow v_n=-2.\frac{1}{2^{n-1}}\Rightarrow u_n=v_n+3=-\frac{1}{2^{n-2}}+3\)
\(\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left[-\frac{1}{2^{n-2}}+3\right]=3\)
5.
\(u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2^n}\Rightarrow u_{n+1}+\frac{2}{2^{n+1}}=u_n+\frac{2}{2^n}\)
Đặt \(v_n=u_n+\frac{2}{2^n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=3\\v_{n+1}=v_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_{n+1}=v_n=...=v_1=3\Rightarrow u_n=3-\frac{2}{2^n}\)
\(\Rightarrow u_{n-2}=3-\frac{2}{2^{n-2}}\Rightarrow lim\left(u_{n-2}\right)=lim\left(3-\frac{2}{2^{n-2}}\right)=3\)
Tính \(u_{n-2}\) hay \(u_n-2\) nhỉ? Ko dịch nổi nên đoán đại
Dãy đã cho là cấp số nhân vô hạn với \(u_1=1\) và công bội \(q=-\frac{1}{2}\)
Do \(\left|q\right|< 1\) áp dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
\(S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\)