Question

[Trần Trương Ngọc Hân]

Tổng bình phương của 1974 số tự nhiên liên tiếp \(M=1^2+2^2+3^2+...+1974^2\)có phải là số chính phương không?

. Mình cảm ơn <3

Answer 1

[fan FA]

Ta có công thức sau: 
1² + 2² + 3² + .... + n² = [ n(n+1)(2n+1) ]/6 (*) ∀ n ∈ N* 

Chứng minh ( bằng phương pháp quy nạp) 
Với n = 1 thì 1² + 2² + 3² + .... + n² = 1² = 1 
và [ n(n+1)(2n+1) ]/6 = (1.2.3)/6 = 1 
=> (*) đúng với n = 1 

Giả sử (*) đúng với n = k ∈ N*. => ta có:1² + 2² + 3² + .... + k² = [ k(k+1)(2k+1) ]/6 

Ta phải c/m (*) đúng với n = k + 1. Hay ta phải chứng minh 

1² + 2² + 3² + .... + k² + (k+1)² = [ (k+1)(k+2)(2k+3) ] / 6 (chỗ này mình làm tắt) 

Ta có : 1² + 2² + 3² + .... + k² + (k+1)² = [ 1² + 2² + 3² + .... + k² ] + (k+1)² 

= [ k(k+1)(2k+1) ]/6 + (k+1)² = [ k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)² ]/6 

= [ (k+1)(2k² + k) + 6(k+1)² ]/6 = [ (k+1)(2k² + k + 6k + 6) ]/6 

= [ (k+1)(2k² + 7k + 6) ]/6 = [ (k+1)(2k² + 4k + 3k + 6) ]/6 

= [ (k+1)(k+2)(2k+3) ]/6. => theo nguyên lý quy nạp thì (*) đúng với ∀ n ∈ N* 

Áp dụng với n = 1974 ta được: 

1² + 2² + 3² + .... + 1974² = ( 1974.1975.3949 )/6 = 2565961475 

Khai căn 2565961475 thì thấy kết quả không phải số nguyên => 2565961475 không phải số chính phương => biểu thức đã cho không phải số chính phương. 

Answer 2

[Trần Trương Ngọc Hân]

Phương pháp quy nạp là phương pháp thế nào bạn? Giải thích rõ giùm mình với. Cảm ơn <3