Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề là tìm GTNN?
----------------------------------------------------------------------------------
Đầu tiên ta chứng minh bổ đề: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\).Áp dụng BĐT AM-GM (Cô si),ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{yz}}=2^{\left(đpcm\right)}\) (1)
Dấu "=" xảy ra khi x = y
--------------------------------------------------------------------------------------
Đặt \(A=x^2+y^2+z^2-xyz\).Thay giả thiết đề bài,ta có"
\(A=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)^2+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)^2-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
\(\ge2^2+2^2+2^2-2.2.2=4\) (BĐT (1) )
Vậy \(A_{min}=4\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\)
\(-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\le-2.2.2=-8\) ngược dấu nha eiu
ko đc trừ 2 vế tương ứng của 2 bđt cùng chiều
câu 1 là :từ a/x + b/y + c/z =0 suy ra (ayz+bxz+cxy)/xyz =0 suy ra ayz+bxz+cxy=0 (1)
vì x/a + y/b + z/c =1 (gt) suy ra (x/a + y/b + z/c )^2 = 1^2 . suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 + 2(xy/ab + yz/bc + xz/ac) =1
suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 + 2[(ayz+bxz+cxy)/abc = 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 =1 (đpcm)
Ta có: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{bcx+acy+abz}{abc}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(bcx+acy+abz=0\)
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2\left(\frac{ab}{xy}+\frac{ac}{xz}+\frac{bc}{yz}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}=4-2\frac{abz+acy+bcx}{xyz}=4\) (vì abz + acy + bcx = 0 )
Ta có: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\)
\(\Rightarrow\frac{bcx+acy+abz}{abc}=0\)
\(\Rightarrow bcx+acy+abz=0\)
Lại có:\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=2\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\frac{bcx+acy+abz}{xyz}=4\)(bình phương hai vế)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}=4\)(Vì \(bcx+acy+abz=0\))
Từ (1) \(\Rightarrow bcx+acy+abz=0\)
Gọi \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=2\left(2\right)\)
Từ (2) \(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{ab}{xy}+\frac{ac}{xz}+\frac{bc}{yz}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=4-\left(\frac{abz+acy+bcx}{xyz}\right)\)
\(=4\)
\(b,\frac{ab}{a^2+b^2+c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)
Từ \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
Tương tự \(b^2+c^2-a^2=-2bc\)và \(c^2+a^2-b^2=-2ac\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{-2ab}+\frac{bc}{-2bc}+\frac{ca}{-2ca}=\frac{1}{-2}+\frac{1}{-2}+\frac{1}{-2}\)
\(=-\frac{3}{2}\)