Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Khai triển biểu thức dưới dấu nguyên hàm thành tổng các phân thức đơn giản
\(\frac{\left(x-1\right)dx}{x^2\left(x-2\right)\left(x+1\right)^2}=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x-2}+\frac{D}{\left(x+1\right)^2}+\frac{E}{x-1}\)
Quy đồng mẫu số chung và cân bằng tử số của hai vế với nhau, ta có :
\(A\left(x-2\right)\left(x+1\right)^2+Bx\left(x-2\right)\left(x+1\right)^2+Cx^2\left(x+1\right)^2+Dx\left(x-2\right)+Ẽx^2\left(x+1\right)\left(x-2\right)\equiv x-1\) (a)
Để xác định các hệ số A, B, C, D, E ta thay \(x=0,x=2,x=-1\) vào (a) ta thu được \(\begin{cases}-2A=-1\\36C=1\\-3D=-2\end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(A=\frac{1}{2},C=\frac{1}{36},D=\frac{2}{3}\)
Thay các giá trị này vào (a) và mở các dấu ngoặc ta có :
\(\left(B+E+\frac{1}{36}\right)x^4+\left(\frac{11}{9}-E\right)x^3+\left(-3B-2E-\frac{47}{36}\right)x^2+\left(-\frac{3}{2}-2B\right)x-1\equiv x-1\)
Cân bằng các hệ số của \(x^3\) và của \(x\) ta thu được :
\(\begin{cases}\frac{11}{9}-E=0\\-\frac{3}{2}-2B=1\end{cases}\) \(\Rightarrow\) \(B=-\frac{5}{4},E=\frac{11}{9}\)
Như vậy :\(A=\frac{1}{2},C=\frac{1}{36},D=\frac{2}{3}\),\(B=-\frac{5}{4},E=\frac{11}{9}\)
Từ đó suy ra :
\(I=-\frac{1}{2x}-\frac{5}{4}\ln\left|x-2\right|-\frac{2}{3\left(x+1\right)}+\frac{11}{9}\ln\left|x+1\right|+C\)
a) \(f\left(x\right)=\frac{3x^2+3x+12}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)x}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x}=\frac{Ax\left(x+2\right)+Bx\left(x-1\right)+C\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)x}\)
Bằng cách thay các nghiệm thực của mẫu số vào hai tử số, ta có hệ :
\(\begin{cases}x=1\rightarrow18=3A\Leftrightarrow A=6\\x=-2\rightarrow18=6B\Leftrightarrow B=3\\x=0\rightarrow12=-2C\Leftrightarrow=-6\end{cases}\) \(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{6}{x-1}+\frac{3}{x+2}-\frac{6}{x}\)
Vậy : \(\int\frac{3x^2+3x+12}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)x}dx=\int\left(\frac{6}{x-1}+\frac{3}{x+2}-\frac{6}{x}\right)dx=6\ln\left|x-1\right|+3\ln\left|x+2\right|-6\ln\left|x\right|+C\)
b) \(f\left(x\right)=\frac{x^2+2x+6}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-4}\)
\(=\frac{A\left(x-2\right)\left(x-4\right)+B\left(x-1\right)\left(x-4\right)+C\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)}\)
Bằng cách thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số ta có hệ :
\(\begin{cases}x=1\rightarrow9A=3\Leftrightarrow x=3\\x=2\rightarrow14=-2B\Leftrightarrow x=-7\\x=4\rightarrow30=6C\Leftrightarrow C=5\end{cases}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{3}{x-1}-\frac{7}{x-2}+\frac{5}{x-4}\)
Vậy :
\(\int\frac{x^2+2x+6}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-4\right)}dx=\)\(\int\left(\frac{3}{x-1}+\frac{7}{x-2}+\frac{5}{x-4}\right)dx\)=\(3\ln\left|x-1\right|-7\ln\left|x-2\right|+5\ln\left|x-4\right|+C\)
a) Mẫu số chứa các biểu thức có nghiệm thực và không có nghiệm thực.
\(f\left(x\right)=\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A\left(x^2+1\right)+\left(x-1\right)\left(Bx+C\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\left(1\right)\)
Tay x=1 vào 2 tử, ta có : 2=2A, vậy A=1
Do đó (1) trở thành :
\(\frac{1\left(x^2+1\right)+\left(x-1\right)\left(Bx+C\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(B+1\right)x^2+\left(C-B\right)x+1-C}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\)
Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có hệ :
\(\begin{cases}B+1=1\\C-B=2\\1-C=-1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}B=0\\C=2\\A=1\end{cases}\)\(\Rightarrow\)
\(f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x^2+1}\)
Vậy :
\(f\left(x\right)=\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}dx=\int\frac{1}{x-1}dx+2\int\frac{1}{x^2+1}=\ln\left|x+1\right|+2J+C\left(2\right)\)
* Tính \(J=\int\frac{1}{x^2+1}dx.\)
Đặt \(\begin{cases}x=\tan t\rightarrow dx=\left(1+\tan^2t\right)dt\\1+x^2=1+\tan^2t\end{cases}\)
Cho nên :
\(\int\frac{1}{x^2+1}dx=\int\frac{1}{1+\tan^2t}\left(1+\tan^2t\right)dt=\int dt=t;do:x=\tan t\Rightarrow t=arc\tan x\)
Do đó, thay tích phân J vào (2), ta có :
\(\int\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}dx=\ln\left|x-1\right|+arc\tan x+C\)
b) Ta phân tích
\(f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}=\frac{A}{\left(x-1\right)^3}+\frac{B}{\left(x-1\right)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+3}\)\(=\frac{A\left(x+3\right)+B\left(x-1\right)\left(x+3\right)+C\left(x-1\right)^2\left(x+3\right)+D\left(x-1\right)^3}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}\)
Thay x=1 và x=-3 vào hai tử số, ta được :
\(\begin{cases}x=1\rightarrow2=4A\rightarrow A=\frac{1}{2}\\x=-3\rightarrow10=-64D\rightarrow D=-\frac{5}{32}\end{cases}\)
Thay hai giá trị của A và D vào (*) và đồng nhất hệ số hai tử số, ta cso hệ hai phương trình :
\(\begin{cases}0=C+D\Rightarrow C=-D=\frac{5}{32}\\1=3A-3B+3C-D\Rightarrow B=\frac{3}{8}\end{cases}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2\left(x-1\right)^3}+\frac{3}{8\left(x-1\right)^2}+\frac{5}{32\left(x-1\right)}-+\frac{5}{32\left(x+3\right)}\)
Vậy :
\(\int\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}dx=\)\(\left(\frac{1}{2\left(x-1\right)^3}+\frac{3}{8\left(x-1\right)^2}+\frac{5}{32\left(x-1\right)}-+\frac{5}{32\left(x+3\right)}\right)dx\)
\(=-\frac{1}{a\left(x-1\right)^2}-\frac{3}{8\left(x-1\right)}+\frac{5}{32}\ln\left|x-1\right|-\frac{5}{32}\ln\left|x+3\right|+C\)
\(=-\frac{1}{a\left(x-1\right)^2}-\frac{3}{8\left(x-1\right)}+\frac{5}{32}\ln\left|\frac{x-1}{x+3}\right|+C\)
a)
\(\int\frac{2\left(x_{ }+1\right)}{x^2+2x_{ }-3}dx=\int\frac{2x+2}{x^2+2x-3}dx\)
\(=\int\frac{d\left(x^2+2x-3\right)}{x^2+2x-3}=ln\left|x^2+2x-3\right|+C\)
b)\(\int\frac{2\left(x-2\right)dx}{x^2-4x+3}=\int\frac{2x-4dx}{x^2-4x+3}=\int\frac{d\left(x^2-4x+3\right)}{x^2-4x+3}=ln\left|x^2-4x+3\right|+C\)
a) Đặt \(\sqrt{2x-5}=t\) khi đó \(x=\frac{t^2+5}{2}\) , \(dx=tdt\)
Do vậy \(I_1=\int\frac{\frac{1}{4}\left(t^2+5\right)^2+3}{t^3}dt=\frac{1}{4}\int\frac{\left(t^4+10t^2+37\right)t}{t^3}dt\)
\(=\frac{1}{4}\int\left(t^2+10+\frac{37}{t^2}\right)dt=\frac{1}{4}\left(\frac{t^3}{3}+10t-\frac{37}{t}\right)+C\)
Trở về biến x, thu được :
\(I_1=\frac{1}{12}\sqrt{\left(2x-5\right)^3}+\frac{5}{2}\sqrt{2x-5}-\frac{37}{4\sqrt{2x-5}}+C\)
b) \(I_2=\frac{1}{3}\int\frac{d\left(\ln\left(3x-1\right)\right)}{\ln\left(3x-1\right)}=\frac{1}{3}\ln\left|\ln\left(3x-1\right)\right|+C\)
c) \(I_3=\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}}dx=\int\frac{d\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-5}}\)
Đặt \(x-\frac{1}{x}=t\)
\(\Rightarrow\) \(I_3=\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-5}}=\ln\left|t+\sqrt{t^2-5}\right|+C\)
\(=\ln\left|x-\frac{1}{x}+\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}\right|+C\)
Câu 2)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^2x\\ dv=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=2\frac{\ln x}{x}dx\\ v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\frac{x^3}{3}\ln ^2x-\frac{2}{3}\int x^2\ln xdx\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} k=\ln x\\ dt=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} dk=\frac{dx}{x}\\ t=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x^2\ln xdx=\frac{x^3\ln x}{3}-\int \frac{x^2}{3}dx=\frac{x^3\ln x}{3}-\frac{x^3}{9}+c\)
Do đó \(I=\frac{x^3\ln^2x}{3}-\frac{2}{9}x^3\ln x+\frac{2}{27}x^3+c\)
Câu 3:
\(I=\int\frac{2}{\cos 2x-7}dx=-\int\frac{2}{2\sin^2x+6}dx=-\int\frac{dx}{\sin^2x+3}\)
Đặt \(t=\tan\frac{x}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sin x=\frac{2t}{t^2+1}\\ dx=\frac{2dt}{t^2+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=-\int \frac{2dt}{(t^2+1)\left ( \frac{4t^2}{(t^2+1)^2}+3 \right )}=-\int\frac{2(t^2+1)dt}{3t^4+10t^2+3}=-\int \frac{2d\left ( t-\frac{1}{t} \right )}{3\left ( t-\frac{1}{t} \right )^2+16}=\int\frac{2dk}{3k^2+16}\)
Đặt \(k=\frac{4}{\sqrt{3}}\tan v\). Đến đây dễ dàng suy ra \(I=\frac{-1}{2\sqrt{3}}v+c\)
Thầy mình bảo bài này trong đề thi không có nên thầy ghi mỗi đáp số thôi :vv Mình mò mãi cũng không biết giải kiểu gì nữa
\(\int e^x\left(2-x\right)dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=2-x\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\int e^x\left(2-x\right)dx=e^x\left(2-x\right)+\int e^xdx=e^x\left(2-x\right)+e^x\)
Đây là nguyên hàm của phân thức hữu tỉ không thực sự. Ta cần tách phần nguyên của phân thức
\(\frac{x^4+x^2+1}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=x+\frac{5x^2+1}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)
Triển khai phân thức hữu tỉ thực sự thành tổng các phân thức đơn giản
\(\frac{5x^2+1}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x-2}+\frac{A_3}{x+2}\)
Ta tính được \(A_1=-\frac{1}{4},A_2=\frac{21}{8},A_3=\frac{21}{8}\)
Do đó :
\(I=\frac{1}{2}x^2+\int\frac{-\frac{1}{4}}{x}dx+\int\frac{\frac{21}{8}}{x-2}dx+\int\frac{\frac{11}{8}}{x+2}dx\)
\(=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\ln\left|x\right|+\frac{21}{8}\ln\left|x-2\right|+\frac{21}{8}\ln\left|x+2\right|+C\)