Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}-1}{\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{x-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}\right)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x-1}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\sqrt{x+1}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}+0=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(b=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^{m-1}+x^{m-2}+...+x+1\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^{n-1}+x^{n-2}+...+1}{x^{m-1}+x^{m-2}+...+1}=\frac{n}{m}\)
\(c=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x-1+x^2-1+...+x^n-1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x-1}{x-1}+\lim\limits_{\rightarrow1}\frac{x^2-1}{x-1}+...+\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^n-1}{x-1}\)
Áp dụng kết quả câu b ta được:
\(c=\frac{1}{1}+\frac{2}{1}+...+\frac{n}{1}=1+2+..+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
Tui nghĩ cái này L'Hospital chứ giải thông thường là ko ổn :)
\(M=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(1+4x\right)^{\dfrac{1}{2}}-\left(1+6x\right)^{\dfrac{1}{3}}}{1-\cos3x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(1+4x\right)^{-\dfrac{1}{2}}.4-\dfrac{1}{3}\left(1+6x\right)^{-\dfrac{2}{3}}.6}{3.\sin3x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{-\dfrac{1}{4}.4\left(1+4x\right)^{-\dfrac{3}{2}}.4+\dfrac{2}{9}.6.6\left(1+6x\right)^{-\dfrac{5}{3}}}{3.3.\cos3x}\)
Giờ thay x vô là được
\(N=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(1+ax\right)^{\dfrac{1}{m}}-\left(1+bx\right)^{\dfrac{1}{n}}}{\left(1+x\right)^{\dfrac{1}{2}}-1}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{1}{m}.\left(1+ax\right)^{\dfrac{1}{m}-1}.a-\dfrac{1}{n}\left(1+bx\right)^{\dfrac{1}{n}-1}.b}{\dfrac{1}{2}\left(1+x\right)^{-\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{\dfrac{a}{m}-\dfrac{b}{n}}{\dfrac{1}{2}}\)
\(V=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(1+mx\right)^n-\left(1+nx\right)^m}{\left(1+2x\right)^{\dfrac{1}{2}}-\left(1+3x\right)^{\dfrac{1}{3}}}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{n\left(1+mx\right)^{n-1}.m-m\left(1+nx\right)^{m-1}.n}{\dfrac{1}{2}\left(1+2x\right)^{-\dfrac{1}{2}}.2-\dfrac{1}{3}\left(1+3x\right)^{-\dfrac{2}{3}}.3}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{n\left(n-1\right)\left(1+mx\right)^{n-2}.m-m\left(m-1\right)\left(1+nx\right)^{m-2}.n}{-\dfrac{1}{2}\left(1+2x\right)^{-\dfrac{3}{2}}.2+\dfrac{2}{9}.3.3\left(1+3x\right)^{-\dfrac{5}{3}}}=....\left(thay-x-vo-la-duoc\right)\)
Đáp án D sai
Hàm đa thức có giới hạn tại mọi điểm và tại tất cả các điểm thì giới hạn trái luôn bằng giới hạn phải
\(A=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\left(1+ax\right)^{\frac{1}{n}}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\frac{a}{n}\left(1+ax\right)^{\frac{1-n}{n}}}{1}=\frac{a}{n}\)
\(B=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\left(1+ax\right)^{\frac{1}{n}}-1}{\left(1+bx\right)^{\frac{1}{m}}-1}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\frac{a}{n}\left(1+ax\right)^{\frac{1-n}{n}}}{\frac{b}{m}\left(1+bx\right)^{\frac{1-m}{m}}}=\frac{am}{bn}\)
\(C=\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{1+bx}\sqrt[4]{1+cx}\left(\sqrt{1+ax}-1\right)+\sqrt[4]{1+cx}\left(\sqrt[3]{1+bx}-1\right)+\left(\sqrt[4]{1+cx}-1\right)}{x}\)
\(C=\lim\limits_{x\rightarrow0}\sqrt[3]{1+bx}\sqrt[4]{1+cx}.\frac{\sqrt{1+ax}-1}{x}+\lim\limits_{x\rightarrow0}\sqrt[4]{1+cx}.\frac{\sqrt[3]{1+bx}-1}{x}+\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[4]{1+cx}-1}{x}\)
Từ câu A ta có: \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{x}=\frac{a}{n}\)
\(\Rightarrow C=\frac{a}{2}+\frac{b}{3}+\frac{c}{4}\)
Bạn sử dụng định lý L'Hopital cho giới hạn vô định:
\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\)
Bạn tự hiểu là giới hạn khi x tiến tới 1 nhé
a/\(=lim\frac{\left(x-1\right)\left(x^{2015}+x^{2014}+...+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^{2014}+x^{2013}+...+x+1\right)}=lim\frac{x^{2015}+x^{2014}+...+x+1}{x^{2014}+x^{2013}+...+x+1}=\frac{2016}{2015}\)
b/ \(=lim\frac{\left(x-1\right)\left(x^{m-1}+x^{m-2}+...+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1\right)}=lim\frac{x^{m-1}+...+1}{x^{n-1}+...+1}=\frac{m}{n}\)
Hoặc nếu bạn được sử dụng L'Hopital thì cứ việc đạo hàm tử-mẫu, lẹ hơn các trên nhiều
Do \(x< 2\) nên x chỉ tiến tới 2 từ phía trái
Do đó hàm số chỉ có giới hạn trái tại điểm x=2 (giới hạn bằng dương vô cực)