Question

[nguyễn quốc đạt]

Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

Answer 1

[bảo nam trần]

Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó: 

Gọi a₁ = 1.2 → 3a₁ = 1.2.3 → 3a₁ = 1.2.3 - 0.1.2
      a₂ = 2.3 → 3a₂ = 2.3.3 → 3a₂ = 2.3.4 - 1.2.3
      a₃ = 3.4 → 3a₃ = 3.3.4 → 3a₃ = 3.4.5 - 2.3.4
      …………………..
      a_n-1 = (n - 1)n → 3a_n-1 =3(n - 1)n → 3a_n-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
      a_n = n(n + 1) → 3a_n = 3n(n + 1) → 3a_n = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:

3(a₁ + a₂ + … + a_n) = n(n + 1)(n + 2)

\(3\left[1.2+2.3+...+n\left(n+1\right)\right]=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\Rightarrow A=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

Answer 2

[Dũng Nguyễn Đình]

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n.(n+1)

=> 3A = 1.2.3 + 2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) + ... + n(n+1).(n+2-n-1)

           = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ...+ n(n+1).(n+2) - (n-1).n.(n+1)

           = n(n+1).(n+2)

=> A = \(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

Vậy \(A=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)