Question

[Nguyễn trúc Linh]

Tính: 

1^3+2^3+3^3+...+10^3

Answer 1

[Trần Hương Giang]

Ko biết

Answer 2

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

Ta chứng minh đẳng thức 

\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) (1)

+ Với n=3

\(1^3+2^3++3^3=36\)

\(\left(1+2+3\right)^2=6^2=36\)

=> Đẳng thức đúng

+ Giả sử n=k đẳng thức trên cũng đúng

\(\Rightarrow1^3+2^3+3^3+...+k^3=\left(1+2+3+...+k\right)^2\)

+ Ta cần c/m với n=k+1 thì

\(1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[1+2+3+...+k+\left(k+1\right)\right]^2\)(2)

\(VT=1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+3+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3=\)

\(=\left[\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\right]^2+\left(k+1\right)^3=\dfrac{k^2\left(k+1\right)^2+4\left(k+1\right)^3}{4}=\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left[k^2+4k+4\right]}{4}=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}\)

\(VP=\left[1+2+3+...+k+\left(k+1\right)\right]^2=\)

\(=\left\{\dfrac{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]}{2}\right\}^2=\dfrac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}\)

Như vậy (2) có VT=VP => (2) đúng

Theo nguyên lý phương pháp quy nạp => (1) đúng

\(\Rightarrow1^3+2^3+3^3+...+10^3=\left(1+2+3+...+10\right)^2=\)

\(=\left[\dfrac{10\left(10+1\right)}{2}\right]^2=3025\)