Question

[Đặng Quốc Huy]

Tìm x,y,z thoả mãn: \(\left|7x-5y\right|+\left|2z-3x\right|+\left|xy+yz+zx-2000\right|=0\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Dễ thấy:

$|7x-5y|\geq 0$ với mọi $x,y$

$|2z-3x|\geq 0$ với mọi $x,z$

$|xy+yz+xz-2000|\geq 0$ với mọi $x,y,z$

Do đó để tổng của 3 số trên bằng $0$ thì:

$|7x-5y|=|2z-3x|=|xy+yz+xz-2000|=0$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7x=5y\\ 2z=3x\\ xy+yz+xz=2000\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x}{10}=\frac{y}{14}=\frac{z}{15}\\ xy+yz+xz=2000(*)\end{matrix}\right.\)

Đặt $\frac{x}{10}=\frac{y}{14}=\frac{z}{15}=t\Rightarrow x=10t; y=14t; z=15t$

Thay vào $(*)\Leftrightarrow 500t^2=2000\Rightarrow t=\pm 2$

$\Rightarrow (x,y,z)=(\pm 20,\pm 28, \pm 30)$