Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{\sqrt{x-2002}}{x-2002}-\frac{1}{x-2002}+\frac{\sqrt{y-2003}}{y-2003}-\frac{1}{y-2003}+\frac{\sqrt{z-2004}}{z-2004}-\frac{1}{z-2004}=\frac{3}{4}\)
\(1-\frac{1}{x-2002}+1-\frac{1}{y-2003}+1-\frac{1}{z-2004}=\frac{3}{4}\)
\(3-\frac{1}{x-2002}-\frac{1}{y-2003}-\frac{1}{z-2004}=\frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{x-2002}+\frac{1}{y-2003}+\frac{1}{z-2004}=3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}\)
=> không có giá trị x,y,z thỏa mãn đề
\(\Leftrightarrow x+y+z=2\sqrt{x-2}+2\sqrt{y+2003}+2\sqrt{z-2004}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y+2003-2\sqrt{y+2003}+1\right)\)
\(+\left(z-2004-2\sqrt{z-2004}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y+2003}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2004}-1\right)^2=0\)
Vì biểu thức trên là tổng của các số hạng không âm nên nó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng phải bằng 0
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y-2003}=1\\\sqrt{z-2004}=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=2004\\z=2005\end{cases}}}\)
\(ĐK:x\ge2,y\ge-2003,z\ge2004\)
Pt đã cho tương đương :
\(x+y+z-2\sqrt{x-2}-2\sqrt{y+2003}-2\sqrt{z-2004}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y+2003-2\sqrt{y+2003}+1\right)+\left(z-2004-2\sqrt{z-2004}+1\right)\)\(=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y+2003}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2004}-1\right)^2=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2=1\\y+2003=1\\z-2004=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=-2002\\z=2005\end{cases}}\)(Thỏa mãn)
Lời giải:
Đặt \(\sqrt{2}+\sqrt{3}=a; \sqrt{3}-\sqrt{2}=b\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2=10\\ ab=1\end{matrix}\right.\)
\(A=a^{2004}+b^{2004}=(a^{1002}+b^{1002})^2-2(ab)^{1002}\)
\(=[(a^2)^{501}+(b^2)^{501}]^2-2\)
Theo hằng đẳng thức: \((a^2)^{501}+(b^2)^{501}\vdots a^2+b^2\Leftrightarrow (a^2)^{501}+(b^2)^{501}\vdots 10\)
Do đó: \(=[(a^2)^{501}+(b^2)^{501}]^2\) có tận cùng là 0
\(\Rightarrow A=[(a^2)^{501}+(b^2)^{501}]^2-2\) có tận cùng là 8.
\(A=\left(5+2\sqrt{6}\right)^{1002}+\left(5-2\sqrt{6}\right)^{1002}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=5+2\sqrt{6}\\b=5-2\sqrt{6}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=10\\ab=1\end{matrix}\right.\)
Theo Viet đảo, a và b là nghiệm của \(x^2-10x+1=0\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=10a-1\\b^2=10b-1\end{matrix}\right.\)
Đặt \(S\left(n\right)=a^n+b^n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S\left(0\right)=1+1=2\\S\left(1\right)=a+b=10\end{matrix}\right.\)
\(S\left(n+2\right)=a^{n+2}+b^{n+2}=a^n.a^2+b^n.b^2\)
\(=a^n\left(10a-1\right)+b^n\left(10b-1\right)=10a^{n+1}+10b^{n+1}-\left(a^n+b^n\right)\)
\(=10S\left(n+1\right)-S_n\)
Do \(S\left(0\right);S\left(1\right)\) nguyên \(\Rightarrow S\left(2\right)\) nguyên \(\Rightarrow S\left(3\right)\) nguyên... \(\Rightarrow S\left(n\right)\) nguyên với mọi n
\(\Rightarrow S\left(n+2\right)+S\left(n\right)=10.S\left(n+1\right)\Rightarrow S\left(n+2\right)+S\left(n\right)⋮10\)
\(\Rightarrow\) Nếu \(S\left(k\right)\) có tận cùng là \(x\) thì \(S\left(k+2\right)\) có tận cùng là \(10-x\)
\(\Rightarrow S\left(k+4a\right)\) có tận cùng giống \(S\left(k\right)\)
Do \(S\left(0\right)=2\Rightarrow S\left(4k\right)\) có tận cùng bằng \(2\) với mọi k nguyên
\(\Rightarrow S\left(1000\right)\) có tận cùng bằng 2 \(\Rightarrow S\left(1002\right)\) có tận cùng bằng 8
Có:\(\sqrt{2005}-\sqrt{2004}=\frac{2005-2004}{\sqrt{2005}+\sqrt{2004}}=\frac{1}{\sqrt{2005}+\sqrt{2004}}\)
;\(\sqrt{2004}-\sqrt{2003}=\frac{2004-2003}{\sqrt{2004}+\sqrt{2003}}=\frac{1}{\sqrt{2004}+\sqrt{2003}}\)
\(\sqrt{2005}+\sqrt{2004}>\sqrt{2004}+\sqrt{2003}\)\(\Rightarrow\sqrt{2005}-\sqrt{2004}< \sqrt{2004}-\sqrt{2003}\)
ĐKXĐ: 0 \(\le\) x, y \(\le\) 2004
Bình phương mỗi vế của mỗi đẳng thức đã cho ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2004-y+2\sqrt{x\left(2004-y\right)}=2004\\y+2004-x+2\sqrt{y\left(2004-x\right)}=2004\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế của hai đẳng thức trên ta được:
\(4008+2\left[\sqrt{x\left(2004-y\right)}+\sqrt{y\left(2004-x\right)}\right]=4008\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x\left(2004-y\right)}+\sqrt{y\left(2004-x\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(2004-y\right)=y\left(2004-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=0\\x=y=2004\end{matrix}\right.\) (thoả mãn)
Vậy (x, y) \(\in\) {(0; 0), (2004; 2004)}