Question

[Uchiha Itachi]

Tìm x, y ∈ N* : 2(x + y +z) + 9 = 3xyz

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
PT $\Leftrightarrow \frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{xz}+\frac{9}{xyz}=3$

Không mất tổng quát giả sử $x\geq y\geq z\geq 1$. Khi đó:
$3\leq \frac{6}{yz}+\frac{9}{yz}=\frac{15}{yz}$

$\Rightarrow 3yz\leq 15$

$\Rightarrow yz\leq 5$. Mà $yz$ nguyên và $yz\geq 1$ nên xét các TH sau:

TH1: $yz=1\Rightarrow y=z=1$

$2(x+1+1)+9=3x\Rightarrow 13$

TH2: $yz=2\Rightarrow y=2; z=1$

$2(x+2+1)+9=6x\Rightarrow x=3,75$ (loại)

TH3: $yz=3\Rightarrow y=3; z=1$

$2(x+3+1)+9=9x\Rightarrow x=\frac{17}{7}$ (loại)

TH4: $yz=4\Rightarrow y=4; z=1$ hoặc $y=z=2$

Cả 2 TH này đều không thu được $x$ thỏa mãn

TH4: $yz=5\Rightarrow y=5; z=1$

Ta cũng không thu được $x$ thỏa mãn

Vậy $(x,y,z)=(13,1,1)$ và hoán vị.