Question

[Hồ Xuân Thái]

Tìm số tự nhiên x sao cho M = x¹⁹⁹⁹ + x¹⁹⁹⁷ + 1 có giá trị là một số nguyên tố

Answer 1

[alibaba nguyễn]

Xét \(x=0\)

\(\Rightarrow M=1\)không phải số nguyên tố.

Xét \(x>0\) thì ta có:

\(M=x^{1999}+x^{1997}+1=\left(x^{1999}-x\right)+\left(x^{1997}-x^2\right)+x^2+x+1\)

\(=x\left(\left(x^3\right)^{666}-1\right)+\left(\left(x^3\right)^{665}-1\right)+x^2+x+1\)

\(=\left(x^2+x+1\right)A+\left(x^2+x+1\right)B+x^2+x+1\)

\(=\left(x^2+x+1\right)C\)

Vì M là số nguyên tố nên nó có 2 ước là 1 và chính nó. Ta lại thấy \(x^2+x+1>1\)

\(\Rightarrow x^{1999}+x^{1997}+1=x^2+x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^{1999}-x^2\right)+\left(x^{1997}-x\right)=0\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^{1999}-x^2\ge0\\x^{1997}-x\ge0\end{cases}}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=1\)

Answer 2

[Lê Nguyễn Bảo Minh]

Ta có : M=x1999+x1997+1=x(x1998−1)+x2(x1995−1)+x2+x+1=BS(x2+x+1)x1999+x1997+1=x(x1998−1)+x2(x1995−1)+x2+x+1=BS(x2+x+1)

Do đó , để M là số nguyên tố ⇔M=x2+x+1⇔M=x2+x+1

                                               ⇔x=1