Câu hỏi của Minh Hiếu

Question

+) Tìm số nguyên tố p,q sao cho: $\left\{{}\begin{matrix}q^3+1⋮p^2\p^6-1⋮q^2\end{matrix}\right.$+) Giả sử: a,b∈N sao cho $p=\dfrac{b}{4}\sqrt{\dfrac{2a-b}{2a+b}}$ là số nguyên tố. Tìm max p

Thầy Cao Đô · Accepted Answer

Ý thứ hai: Từ giả thiết $p$ nguyên tố suy ra $b$ chẵn (vì $b$ phải chia hết cho $4$), ta đặt $b=2 c$ thì:$p=\dfrac{c}{2} \sqrt{\dfrac{a-c}{b-c}} \Leftrightarrow \dfrac{4 p^2}{c^2}=\dfrac{a-c}{a+c}$.Đặt $\dfrac{2 p}{c}=\dfrac{m}{n}$, với $(m, n)=1$ $\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &a-c=k m^2 \ &a+c=k n^2\ \end{aligned}ight. \Rightarrow 2 c=k\left(n^2-m^2ight)$ và $4 p n=k m\left(n^2-m^2ight).$+ Nếu $m$, $n$ cùng lẻ thì $4 p n=k m\left(n^2-m^2ight) \, \vdots \, 8 \Rightarrow p$ chẵn, tức là $p=2$.+ Nếu $m$, $n$ không cùng lẻ thì $m$ chia $4$ dư $2$. (do $2p$ không là số chẵn không chia hết cho $4$ và $\dfrac{2 p}{c}$ là phân số tối giản). Khi đó $n$ là số lẻ nên $n^2-m^2$ là số lẻ nên không chia hết cho $4$ suy ra $k$ là số chia hết cho $2$.Đặt $k=2 r$ ta có $2 p n=r m\left(n^2-m^2ight)$ mà $\left(n^2-m^2, night)=1 \Rightarrow r \, \vdots \, n$ đặt $r=n s$ ta có $2 p=s(n-m)(n+m) m$ do $n-m, n+m$ đều là các số lẻ nên $n+m=p$, $n-m=1$, suy ra $s, m \leq 2$ và $(m ; n)=(1 ; 2)$ hoặc $(2 ; 3)$.Trong cả hai trường họp đều suy ra $p \leq 5$.Với $p=5$ thì $m=2$, $n=3$, $s=1$, $r=3$, $k=6$, $c=15$, $b=30$, $a=39$.Câu trả lời: Ý thứ hai: Từ giả thiết $p$ nguyên tố suy ra $b$ chẵn (vì $b$ phải chia hết cho $4$), ta đặt $b=2 c$ thì:$p=\dfrac{c}{2} \sqrt{\dfrac{a-c}{b-c}} \Leftrightarrow \dfrac{4 p^2}{c^2}=\dfrac{a-c}{a+c}$.Đặt $\dfrac{2 p}{c}=\dfrac{m}{n}$, với $(m, n)=1$ $\Rightarrow\left\{\begin{aligned} &a-c=k m^2 \ &a+c=k n^2\ \end{aligned}ight. \Rightarrow 2 c=k\left(n^2-m^2ight)$ và $4 p n=k m\left(n^2-m^2ight).$+ Nếu $m$, $n$ cùng lẻ thì $4 p n=k m\left(n^2-m^2ight) \, \vdots \, 8 \Rightarrow p$ chẵn, tức là $p=2$.+ Nếu $m$, $n$ không cùng lẻ thì $m$ chia $4$ dư $2$. (do $2p$ không là số chẵn không chia hết cho $4$ và $\dfrac{2 p}{c}$ là phân số tối giản). Khi đó $n$ là số lẻ nên $n^2-m^2$ là số lẻ nên không chia hết cho $4$ suy ra $k$ là số chia hết cho $2$.Đặt $k=2 r$ ta có $2 p n=r m\left(n^2-m^2ight)$ mà $\left(n^2-m^2, night)=1 \Rightarrow r \, \vdots \, n$ đặt $r=n s$ ta có $2 p=s(n-m)(n+m) m$ do $n-m, n+m$ đều là các số lẻ nên $n+m=p$, $n-m=1$, suy ra $s, m \leq 2$ và $(m ; n)=(1 ; 2)$ hoặc $(2 ; 3)$.Trong cả hai trường họp đều suy ra $p \leq 5$.Với $p=5$ thì $m=2$, $n=3$, $s=1$, $r=3$, $k=6$, $c=15$, $b=30$, $a=39$.

Thầy Cao Đô · Answer

Ý thứ nhất: TH1: Nếu $p=3$, ta có $3^6-1=2^3 .7 .11 \, \vdots \, q^2$ hay $q^2 \, \big| \, 2^3 .7 .11$ nên $q=2$.TH2: Nếu $p eq 3$, ta có $p^2 \, \big| \, (q+1)\left(q^2-q+1 ight)$.Mà $\left(q+1, q^2-q+1 ight)=(q+1,3)=1$ hoặc $3$. Suy ra hoặc $p^2 \, \big| \, q+1$ hoặc $p^2 \, \big| \, q^2-q+1$ nên $p < q$.+ Nếu $q=p+1$ ta có $p=2$, $q=3$.+ Nếu $q \geq p+2$. Ta có $p^6-1=(p^3)^2-1=(p^3-1)(p^3+1)$ nên $q^2 \, \big| \, (p-1)(p+1).(p^2-p+1).(p^2+p+1)$.Do $(q, p+1)=(q, p-1)=1$ và $\left(p^2-p+1, p^2+p+1 ight)=\left(p^2+p+1,2 p ight)=1$ nên ta có hoặc $q^2 \, \big| \, p^2+p+1$ hoặc $q^2 \, \big| \, p^2-p+1$.Mà $q \geq p+2$ nên $q^2 \geq(p+2)^2>p^2+p+1>p^2-p+1$.Vậy $(p, q)=(2,3) ; \, (3,2)$.Câu trả lời: Ý thứ nhất: TH1: Nếu $p=3$, ta có $3^6-1=2^3 .7 .11 \, \vdots \, q^2$ hay $q^2 \, \big| \, 2^3 .7 .11$ nên $q=2$.TH2: Nếu $p eq 3$, ta có $p^2 \, \big| \, (q+1)\left(q^2-q+1 ight)$.Mà $\left(q+1, q^2-q+1 ight)=(q+1,3)=1$ hoặc $3$. Suy ra hoặc $p^2 \, \big| \, q+1$ hoặc $p^2 \, \big| \, q^2-q+1$ nên $p < q$.+ Nếu $q=p+1$ ta có $p=2$, $q=3$.+ Nếu $q \geq p+2$. Ta có $p^6-1=(p^3)^2-1=(p^3-1)(p^3+1)$ nên $q^2 \, \big| \, (p-1)(p+1).(p^2-p+1).(p^2+p+1)$.Do $(q, p+1)=(q, p-1)=1$ và $\left(p^2-p+1, p^2+p+1 ight)=\left(p^2+p+1,2 p ight)=1$ nên ta có hoặc $q^2 \, \big| \, p^2+p+1$ hoặc $q^2 \, \big| \, p^2-p+1$.Mà $q \geq p+2$ nên $q^2 \geq(p+2)^2>p^2+p+1>p^2-p+1$.Vậy $(p, q)=(2,3) ; \, (3,2)$.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP