Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(1\sqrt{\left(6-2\sqrt{5}\right)^n}=\left(\sqrt{5}-1\right)^n\)
\(1\sqrt{\left(6+2\sqrt{5}\right)^n}=\left(\sqrt{5}+1\right)^n\)
Với n = 1 thì VT = \(2\sqrt{5}\ne6\)
Vố n \(\ge2\)thì VT \(\ge12\)
Vậy pt vô nghiệm
a) Bất đẳng thức đúng khi a = b = 2c
do đó \(\sqrt{c\left(2c-c\right)}+\sqrt{c\left(2c-c\right)}\le n\sqrt{2c.2c}\Leftrightarrow n\ge1\)
xảy ra khi n = 1
Thật vậy, ta có :
\(\sqrt{\frac{c}{b}.\frac{a-c}{a}}+\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{b-c}{b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{b-c}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
Vậy n nhỏ nhất là 1
b) Ta có : a + b = \(\sqrt{\left(a+b\right)^2}\le\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}=\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Áp dụng, ta được : \(\sqrt{1}+\sqrt{n}\le\sqrt{2\left(n+1\right)},\sqrt{2}+\sqrt{n-1}\le\sqrt{2\left(1+n\right)},...\)
\(\sqrt{n}+\sqrt{1}\le\sqrt{2\left(1+n\right)};\sqrt{n-1}+\sqrt{2}\le\sqrt{2\left(1+n\right)},...\)
\(\sqrt{1}+\sqrt{n}\le\sqrt{2\left(1+n\right)}\)
do đó : \(4\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\right)\le2n\sqrt{2\left(1+n\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}\le n\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2}+1\right)^n+\left(\sqrt{2}-1\right)^n=6\)
Đặt \(\left(\sqrt{2}+1\right)^n=t>0\Rightarrow\left(\sqrt{2}-1\right)^n=\frac{1}{t}\)
\(t+\frac{1}{t}=6\Leftrightarrow t^2-6t+1=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\\t=\left(\sqrt{2}-1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(\sqrt{2}+1\right)^n=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\\\left(\sqrt{2}+1\right)^n=\left(\sqrt{2}-1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=2\\n=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(A=\sqrt{\left(3+2\sqrt{2}\right)^n}+\sqrt{\left(3-2\sqrt{2}\right)^n}\)
\(=\sqrt{\left(2+2\sqrt{2}+1\right)^n}+\sqrt{\left(2-2\sqrt{2}+1\right)^n}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2n}}+\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^{2n}}\)
\(=\left(\sqrt{2}+1\right)^n+\left(\sqrt{2}-1\right)^n\)
Với \(n=1\):
\(A=\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1=2\sqrt{2}\ne6\)
Với \(n=2\):
\(A=3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}=6\)(thỏa)
Với \(n\ge3\):
\(A>\left(\sqrt{2}+1\right)^3=5\sqrt{2}+7>6\)
Do đó \(n\)nguyên dương cần tìm là \(n=2\).