Question

[Tam giác]

Tìm \(n\in N\) và a + 1 ; 2a + 1 đều là SCP

CM a \(⋮24\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Trước tiên ta sẽ chứng minh một bổ đề: Số chính phương lẻ chia $8$ dư $1$

--------------------

CM: Gọi số chính phương lẻ là $n^2$. Vì $n^2$ lẻ nên $n$ lẻ. Do đó $n$ có dạng $4k\pm 1$

$\Rightarrow n^2=(4k\pm 1)^2=16k^2\pm 8k+1$ chia $8$ dư $1$ (đpcm)

----------------------

Quay trở lại bài toán:
Đặt $a+1=m^2; 2a+1=n^2$ (trong đó $m,n$ là các số tự nhiên)

$\Rightarrow 2m^2=n^2+1$

$\Rightarrow n^2+1\vdots 2\Rightarrow n$ lẻ

$\Rightarrow n^2$ chia $8$ dư $1$

$\Rightarrow 2m^2=n^2+1$ chia $8$ dư $2$

$\Rightarrow m^2$ lẻ

$\Rightarrow a+1=m^2$ chia $8$ dư $1$

$\Rightarrow a\vdots 8(*)$

Mặt khác:

Một số chính phương lẻ khi chia $3$ có dư là $0$ hoặc $1$

Nếu $m^2$ chia hết cho $3$ thì $a+1\vdots 3\Rightarrow a$ chia $3$ dư $2$

$\Rightarrow n^2=2a+1$ chia $3$ dư $2$ (vô lý)

Do đó $m^2=a+1$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow a\vdots 3(**)$

Từ $(*); (**)$ mà $(3,8)=1$ nên $a\vdots 24$

Answer 2

[Akai Haruma]

Số $n$ ở đâu ra vậy bạn?