Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b1,
\(n^4< n^4+n^3+n^2+n+1\le n^4+4n^3+6n^2+4n+1=\left(n+1\right)^4\)
=>n4+n3+n2+n+1=(n+1)4<=>n=0
nhầm sai rồi nếu n^4+n^3+n^2+n+1 là scp thì mới chặn đc nhưng ở đây lại ko phải
Với \(n=0\) thì \(n^4+n^3+n^2=0\left(TM\right)\)
\(n^4+n^3+n^2\)
\(=n^2\left(n^2+n+1\right)\)
Để \(n^4+n^3+n^2\) là số chính phương thì \(\left(n^2+n+1\right)\) là số chính phương .
Có : \(n^2< n^2+n+1< n^2+2n+1=\left(n+1\right)^2\)
\(\Rightarrow n^2+n+1\) không là số chính phương .
Ta có:
\(n^2\equiv0;1\left(mod4\right)\)
\(\Rightarrow2^{n^2}\equiv1;2\left(mod5\right);2^{4n^4+1-n^2}\equiv2;1\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow2^{n^2}+2^{4n^4+1-n^2}\equiv3\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow2^{n^2}+2^{4n^4+1-n^2}=5k+3\left(k\in N\right)\)
\(\Rightarrow2^{M\left(n\right)}-8=2^{5k+3}-8=2^{5k}.2^3-8\equiv8-8\equiv0\left(mod31\right)\)
Lời giải:
Để \(n^6+n^4-n^3+1\) là scp thì \(A=4n^6+4n^4-4n^3+4\) cũng phải là scp.
Ta thấy:
\(A-(2n^3+n)^2=-4n^3+4-n^2=4(1-n^3)-n^2< 0\) với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\)
Do đó: \(A< (2n^3+n)^2(1)\)
Lại có:
\(A-(2n^3+n-2)^2=4n^3-n^2+4n=n(4n^2-n+4)\)
\(n[(n-\frac{1}{2})^2+3n^2+\frac{15}{4}]>0\) với mọi \(n\in\mathbb{N}^*\)
Do đó \(A> (2n^3+n-2)^2(2)\)
Từ (1);(2) suy ra để A là scp thì \(A=(2n^3+n-1)^2\)
\(\Leftrightarrow 4n^6+4n^4-4n^3+4=(2n^3+n-2)^2\)
Thực hiện khai triển rút gọn:
\(\Rightarrow n^2-2n-3=0\Leftrightarrow (n-3)(n+1)=0\)
\(\Rightarrow n=3\) do $n\in\mathbb{N}^*$
Vậy..........
Bổ đề. \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ.
Chứng minh. Phản chứng giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ thì \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) với \(p,q\) là số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau. Do đó \(2q^2=p^2\to p\vdots2\to p=2p_1\to q^2=2p_1^2\to q\vdots2\to q=2q_1\to2q_1^2=p_1^2\to\cdots\) ta sẽ suy ra \(p=2p_1=2^2p_2=2^3p_3=\cdots=2^np_n\to p\vdots2^n\) với mọi số nguyên dương \(n,\) suy ra \(p=0\to\sqrt{2}=0,\) vô lí.
Vậy \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ.
Đặt \(44\ldots4=4\times11\ldots1=4\cdot\frac{10^n-1}{9},88\ldots8=8\times\frac{10^n-1}{9}.\) Do đó mà \(A=\sqrt{44\ldots4\times88\ldots8}=\sqrt{32\cdot\left(\frac{10^n-1}{9}\right)^2}=\frac{10^n-1}{9}\cdot4\sqrt{2}.\) Vì vậy nếu A là số tự nhiên thì \(\sqrt{2}=\frac{A}{4\times\frac{10^n-1}{9}}\) là số hữu tỉ. Điều này mâu thuẫn với nhận xét trên.
Vậy không có số nguyên dương n nào thoả mãn yêu cầu.