Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) A = B : C = \(\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right).\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]\). \(\frac{\sqrt{x^3y}+\sqrt{xy^3}}{\sqrt{x^3}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{y^3}}\)
A xác định <=> x > 0 và y > 0
\(B=\left[\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}.\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]=\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\)
\(C=\frac{\sqrt{x}.\left(x+y\right)+\sqrt{y}.\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right).\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}.\left(x+y\right)}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}=\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
=> A = B : C = \(\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\) : \(\left(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\) = \(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
c) \(A=\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge2.\sqrt{\frac{1}{\sqrt{y}}.\frac{1}{\sqrt{x}}}=2.\sqrt{\frac{1}{\sqrt{6}}}\)
=> A nhỏ nhất bằng \(2.\sqrt{\frac{1}{\sqrt{6}}}\) khi \(\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\) => x = y = \(\sqrt{6}\)
Ta chứng minh các bất đẳng thức:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow2\sqrt{xy}\le1\Leftrightarrow\sqrt{xy}\le\frac{1}{2}\)
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow2x+2y\ge x+y+2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\le2\left(x+y\right)=2\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2}\)
\(\left[\left(\frac{x}{\sqrt{x\sqrt{y}}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{y\sqrt{x}}}\right)^2\right]\left(\sqrt{x\sqrt{y}}^2+\sqrt{y\sqrt{x}}^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) (Bunyakovski)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{x}}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}\)
Ta có:
\(\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{x}}\)
\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\ge\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{x\sqrt{y}}=\frac{y}{y\sqrt{x}}\\x=y\end{cases}\Leftrightarrow x=y}\)
x+y=1 <=> x=y=1/2
Vậy GTNN của biểu thức trên là \(\sqrt{2}\)<=> x=y=1/2
Hơi dài tí, tại chỉ suy nghĩ như thế thôi
a, \(S=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{2015.2017}\)
\(\Rightarrow\) \(2S=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{2015.2017}\)
\(\Rightarrow\) \(2S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2017}\)
\(\Rightarrow\) \(2S=1-\frac{1}{2017}\)
\(\Rightarrow\) \(2S=\frac{2016}{2017}\)
\(\Rightarrow\) \(S=\frac{1008}{2017}\)
Đk: x \(\ge\)2013; y \(\ge\)2013
Ta có: A = \(\frac{\sqrt{x-2013}}{x}+\frac{\sqrt{y-2012}}{y+1}\ge0\forall x;y\)
(vì \(\sqrt{x-2013}\ge0\); x > 0; \(\sqrt{y-2012}\ge0\); y + 1 > 0)
Dấu "=" xảy ra <=> x - 2013 = 0 và y - 2012 = 0 <=> x = 2013 và y = 2012
Vậy MinA = 0 khi x =2013 và y = 2012
Ta lại có: A = \(\frac{\sqrt{x-2013}}{x}+\frac{\sqrt{y-2012}}{y+1}\le\frac{\frac{x-2013+1}{2}}{x}+\frac{\frac{y-2012+1}{2}}{y+1}\)(bđt cosi)
<=> A \(\le\frac{x-2012}{2x}+\frac{y-2011}{2\left(y+1\right)}=\frac{1}{2}-\frac{1006}{x}+\frac{y+1-2012}{2\left(y+1\right)}\)
<= > A \(\le\frac{1}{2}-\frac{1006}{x}+\frac{1}{2}-\frac{1006}{y+1}=1-1006\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y+1}\right)\)
Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) (1)
CM bđt đúng: Từ (1) => (a + b)2 > = 4ab <=> (a - b)2 > = 0 (luôn đúng với mọi a,b > 0)
Khi đó: A \(\le1-\frac{1006.4}{x+y+1}=1-\frac{4024}{x+y+1}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2013}=1\\\sqrt{y-2012}=1\\x=y+1\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=2014\\y=2013\end{cases}}\)
Vậy MaxA = \(1-\frac{4024}{2014+2013+1}=1-\frac{1006}{1007}=\frac{1}{1007}\) <=> x = 2014 và y = 2013