Question

[Ngô Ngọc Anh]

Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm GTNN của \(\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}\)

Answer 1

[Le Hong Phuc]

Ta chứng minh các bất đẳng thức:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow2\sqrt{xy}\le1\Leftrightarrow\sqrt{xy}\le\frac{1}{2}\)

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow2x+2y\ge x+y+2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\le2\left(x+y\right)=2\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2}\)

\(\left[\left(\frac{x}{\sqrt{x\sqrt{y}}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{y\sqrt{x}}}\right)^2\right]\left(\sqrt{x\sqrt{y}}^2+\sqrt{y\sqrt{x}}^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) (Bunyakovski)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{x}}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}\)

Ta có:

\(\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{x}}\)

\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\ge\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{x\sqrt{y}}=\frac{y}{y\sqrt{x}}\\x=y\end{cases}\Leftrightarrow x=y}\)

x+y=1 <=> x=y=1/2

Vậy GTNN của biểu thức trên là \(\sqrt{2}\)<=> x=y=1/2

Hơi dài tí, tại chỉ suy nghĩ như thế thôi

Answer 2

[Ngô Ngọc Anh]

Em cảm ơn Le Hong Phuc ạ!