K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
L
0
X
1
28 tháng 9 2020
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=6abc\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=6abc\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=3abc\)
Đến đây ta chỉ cần chứng minh \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=a^3+b^3+c^3\)
Nhưng rõ ràng: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ne a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)
KL : Đề sai.
23 tháng 11 2018
Ta có a,b,c dương⇒\(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{cb}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=6\)(1)
Đặt x=\(\dfrac{1}{a}\),y=\(\dfrac{1}{b}\),z=\(\dfrac{1}{c}\)
Vậy (1)\(\Leftrightarrow xy+xz+yz+x+y+z=6\)
Áp dụng bđt cosi ta có
\(x^2+1\ge2x\)(2)
\(y^2+1\ge2y\)(3)
\(z^2+1\ge2z\)(4)
Cộng (2),(3),(4)\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)(5)
Ta lại có bất đẳng thức cosi:
\(x^2+y^2\ge2xy\)(6)
\(y^2+z^2\ge2yz\)(7)
\(x^2+z^2\ge2xz\)(8)
Cộng (6),(7),(8)\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2xy+2xz+2yz\left(9\right)\)
Cộng (8),(9)\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2.6\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge3\Rightarrowđpcm\)
HA
1
VT
21 tháng 10 2019
khai triển và rút gọn ta được:
\(4a^3+4b^3+4c^3+24abc\ge\left(a+b+c\right)^3.\)<=> \(a^3+b^3+c^3+8abc\ge\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)<=> a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) +c(c-a)(c-b) +3abc\(\ge0\)
giả sử \(a\ge b\ge c\)
c(c-a)(c-b)\(\ge0\)
a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) = (a-b)(a2 - b2 + bc-ac) = (a-b)2(a+b-c) \(\ge0\)
3abc\(\ge0\)
cộng vế theo vế ta được bdt cần chứng minh
dâu '=' khi \(\hept{\begin{cases}c\left(c-a\right)\left(c-b\right)=0\\\left(a-b\right)^2\left(a+b-c\right)=0\\3abc=0\end{cases}}\)=> a=b; c=0
23 tháng 11 2018
a, b, c khác 0 nhé
\(a+b+c+ab+bc+ca=6abcd\)
Chia cả hai vế cho abc ta có
\(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=6\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z\), x, y, z khác 0
bài toán đưa về cho 3 số x, y, z khác 0 chứng minh x+y+z+xy+yz+xz=6 Chứng minh rằng x^2+y^2+z^2>=3
Xét 3(x^2+y^2+z^2)- 2(x+y+z+xy+xz+yz) +3=(x^2-2xy+y^2)+(x^2-2xz+z^2)+(z^2-2zy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)+(z^2-2z+1)
=(x-y)^2+(x-z)^2+(z-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\(\ge\)0
=> 3(x^2+y^2+z^2)- 2(x+y+z+xy+xz+yz) +3\(\ge0\)=> 3.(x^2+y^2+z^2)-2.6+3\(\ge0\)<=> x^2+y^2+z^2\(\ge\)3 (điều phải chứng minh)
Dấu '=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
\(\ge0\)\(\ge\)\(\ge\)
TN
0
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 1 2021
Lời giải:
$a^3+b^3+c^3-3abc=1$
$\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=1$
Đặt $a+b+c=x; a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=y$ với $x,y>0$
Khi đó, đề bài trở thành: Cho $x,y>0$ thỏa mãn: $xy=1$
Tìm min $P=\frac{x^2+2y}{3}$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$P=\frac{x^2+y+y}{3}\geq \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2}}{3}=\frac{3}{3}=1$
Vậy $P_{\min}=1$