Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
5.
ĐKXĐ: \(0\le x\le1\)
\(P=\sqrt{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\)
\(P\ge\sqrt{1-x+x}+\sqrt{1+x+x}=1+\sqrt{1+2x}\ge2\)
\(\Rightarrow P_{min}=2\) khi \(x=0\)
6.
\(3=a^2+b^2+ab\ge2ab+ab=3ab\Rightarrow ab\le1\)
\(3=a^2+b^2+ab\ge-2ab+ab=-ab\Rightarrow ab\ge-3\)
\(\Rightarrow-3\le ab\le1\)
\(a^2+b^2+ab=3\Rightarrow a^2+b^2=3-ab\)
Ta có:
\(P=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2-ab\)
\(P=\left(3-ab\right)^2-2a^2b^2-ab=-a^2b^2-7ab+9\)
Đặt \(ab=x\Rightarrow-3\le x\le1\)
\(P=-x^2-7x+9=21-\left(x+3\right)\left(x+4\right)\le21\)
\(\Rightarrow P_{max}=21\) khi \(x=-3\) hay \(\left(a;b\right)=\left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\) và hoán vị
\(P=-x^2-7x+9=1+\left(1-x\right)\left(x+8\right)\ge1\)
\(\Rightarrow P_{min}=1\) khi \(x=1\) hay \(a=b=1\)
1. \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z+xy+yz+zx=6\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\ge6\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)-18\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+6\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Vậy \(P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{1}{3}.3^2=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
2. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(Q^2\le3\left(2a+bc+2b+ac+2c+ab\right)\)
\(Q^2\le6\left(a+b+c\right)+3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(Q^2\le6\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c\right)^2=16\)
\(\Rightarrow Q\le4\Rightarrow Q_{max}=4\) khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Các biến không có biên, mà cực trị xảy ra tại tâm là max nên biểu thức này ko có min, bạn ko cần nghĩ cách tìm nó đâu
Ta có P=\(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)
Mà \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\Rightarrow P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2=1\)
Vậy P min = 1 <=> a=b=c=1/căn(3)
^^
ta có a^2+b^2+c^2=1
Mà a,b,c thuộc N
\(\Rightarrow\)TH1:a và b =0
TH2:b và c=0
TH3:c và a=0
nhưng \(P=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)có b,c,a là mẫu
Do đó không có P
\(\Leftrightarrow M=\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+â\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)
áp dụng bđt cauchy ta có:
\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge\frac{1}{a}\);\(\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c+a}{4ca}\ge\frac{1}{b}\);\(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{8abc}}=\frac{3}{2}\)
Gọi S có n số hạng sao cho S = 1+ 2+ 3 + ...+ n = aaa ( a là chữ số)
=> (n + 1).n : 2 = a.111
=> n(n + 1) = a.222
=> n(n + 1) = a.2.3.37
a là chữ số mà n; n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên a = 6
=> n(n + 1) = 36.37
=> n = 36
Vậy cần 36 số hạng
cho mình nha
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{3}{2}\ge a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le\frac{1}{2}\)
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(VT=\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge\left(3+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\ge(3+2+2)^3=343\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
\(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ba}+\frac{c^2}{ac+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra tại a=b=c
Cách 2
\(P+3=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\)
\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\left(a+b+c\right)\cdot\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c\)
\(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\left(1\right)\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c=x\\c+a=y\\a+b=z\end{cases}\left(x,y,z>0\right)}\)
\(\Rightarrow a=\frac{y+z-x}{2}\);\(b=\frac{z+x-y}{2}\);\(c=\frac{x+y-z}{2}\)
\(\left(1\right)\)trở thành \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}-\frac{1}{2}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2y}-\frac{1}{2}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}-\frac{1}{2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{y}{2x}+\frac{x}{2y}\right)+\left(\frac{z}{2x}+\frac{x}{2z}\right)+\left(\frac{z}{2y}+\frac{y}{2z}\right)\ge3\)
Vì \(\frac{y}{2x}+\frac{x}{2y}\ge2\sqrt{\frac{y}{2x}.\frac{x}{2y}}=1\)( bđt AM-GM)
CMTT \(\frac{z}{2x}+\frac{x}{2z}\ge1\)và \(\frac{z}{2y}+\frac{y}{2z}\ge1\)
rồi cộng vào là xong
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{y}{2x}=\frac{x}{2y}\\\frac{z}{2x}=\frac{x}{2z}\\\frac{z}{2y}=\frac{y}{2z}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x^2=2y^2\\2z^2=2x^2\\2y^2=2z^2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=y\\z=x\\y=z\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z\)
Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z\)