Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/
Đặt \(cosx=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(\Rightarrow t^2-2mt+4\left(m-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-4-2m\left(t-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t+2-2m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow t=2m-2\)
\(\Rightarrow0< 2m-2\le1\Rightarrow1< m\le\frac{3}{2}\)
b.
\(x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\Rightarrow\frac{x}{2}\in\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right)\)
Đặt \(sin\frac{x}{2}=t\Rightarrow-\frac{\sqrt{2}}{2}< t< \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow4t^2+2t+m-2=0\Leftrightarrow4t^2+2t-2=-m\)
Xét \(f\left(t\right)=4t^2+2t-2\) trên \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{2}\) ; \(f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}\) ; \(f\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow-\frac{9}{4}\le f\left(t\right)< \sqrt{2}\Rightarrow-\frac{9}{4}\le-m< \sqrt{2}\)
\(\Rightarrow-\sqrt{2}< m\le\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(3m+5\right)cosx=\left(2m+3\right)cosx-m\)
\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)cosx=-m\)
- Với \(m=-2\) pt vô nghiệm
- Với \(m\ne-2\Rightarrow cosx=-\frac{m}{m+2}\)
Do \(-1\le cosx\le1\) nên pt có nghiệm khi và chỉ khi: \(-1\le-\frac{m}{m+2}\le1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-\frac{m}{m+2}\ge0\\1+\frac{m}{m+2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{2}{m+2}\ge0\\\frac{2m+2}{m+2}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m\ge-1\)
Nhận thấy \(cosx=0\) ko phải nghiệm, chia 2 vế cho \(cos^2x\)
\(2tan^2x-tanx-m=1+tan^2x\)
\(\Leftrightarrow tan^2x-tanx-1=m\)
Đặt \(tanx=t\Rightarrow t\in\left[-1;1\right]\)
\(\Rightarrow t^2-t-1=m\)
Xét \(f\left(t\right)=t^2-t-1\) trên \(\left[-1;1\right]\) có \(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\in\left[-1;1\right]\)
\(f\left(-1\right)=1\) ; \(f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{4}\) ; \(f\left(1\right)=-1\)
\(\Rightarrow-\frac{5}{4}\le m\le1\Rightarrow m=\left\{-1;0;1\right\}\) có 3 giá trị nguyên của m
uốn giải bài này nhanh bạn cần biết đến công thức
PT:a.sinx +b.cosx =c có nghiệm khi:a2+b2≥c2a2+b2≥c2
ADCT:(m−1)2+m2≥3−2m(m−1)2+m2≥3−2m
⇔m2≥1⇔m2≥1
[m≥1m≤−1
Cho e hỏi là vì sao khúc cuối có dấu bằng mà trên đề k có dấu bằng ạ?
Vì mình lấy giá trị nguyên bạn
Chính xác là \(-\frac{1}{4}< k< \frac{2020-\frac{\pi}{2}}{2\pi}\)
\(\Rightarrow-0,25< k< 321,243\) (1)
Nhưng k nguyên nên chỉ cần lấy khoảng ở số nguyên gần nhất, tức là \(0\le k\le321\)
6.
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}cos6x+\frac{1}{2}cos4x=\frac{1}{2}cos6x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}cos2x+1\)
\(\Leftrightarrow cos4x=4cos2x+5\)
\(\Leftrightarrow2cos^22x-1=4cos2x+5\)
\(\Leftrightarrow cos^22x-2cos2x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=-1\\cos2x=3>1\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
7.
Thay lần lượt 4 đáp án ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn
8.
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\\sinx=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\left\{\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right\}\)
9.
Đặt \(sinx+cosx=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le t\le1\\sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow mt+\frac{t^2-1}{2}+1=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+2mt+1=0\)
Pt đã cho có đúng 1 nghiệm thuộc \(\left[-1;1\right]\) khi và chỉ khi: \(\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le-1\end{matrix}\right.\)
10.
\(\frac{\sqrt{3}}{2}cos5x-\frac{1}{2}sin5x=cos3x\)
\(\Leftrightarrow cos\left(5x-\frac{\pi}{6}\right)=cos3x\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x-\frac{\pi}{6}=3x+k2\pi\\5x-\frac{\pi}{6}=-3x+k2\pi\end{matrix}\right.\)
b/
\(cos4x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos6x\)
\(\Leftrightarrow2\left(2cos^22x-1\right)=1+4cos^32x-3cos2x\)
\(\Leftrightarrow4cos^32x-4cos^22x-3cos2x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cos2x-1\right)\left(4cos^22x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cos2x-1\right)\left(2cos4x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=1\\cos4x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\pi\\x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\\x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\left\{0;-\frac{11\pi}{12};-\frac{5\pi}{12};\frac{\pi}{12};\frac{7\pi}{12};-\frac{7\pi}{12};-\frac{\pi}{12};\frac{5\pi}{12};\frac{11\pi}{12}\right\}\)
Bạn tự cộng lại
c/
\(\Leftrightarrow2cos^2x-1-\left(2m+1\right)cosx+m+1=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x-\left(2m+1\right)cosx+m=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^2x-cosx-2mcosx+m=0\)
\(\Leftrightarrow cosx\left(2cosx-1\right)-m\left(2cosx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx-m\right)\left(2cosx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=\frac{1}{2}\\cosx=m\end{matrix}\right.\)
Do \(cosx=\frac{1}{2}\) vô nghiệm trên \(\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)\) nên pt có nghiệm khi và chỉ khi \(cosx=m\) có nghiệm trên khoảng đã cho
Mà \(-1< cosx< 0\Rightarrow-1< m< 0\)
Do \(-1\le cosx\le1\) nên pt có nghiệm khi và chỉ khi:
\(-1\le\frac{2m-3}{4-m}\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{2m-3}{4-m}+1\ge0\\\frac{2m-3}{4-m}-1\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{m+1}{4-m}\ge0\\\frac{3m-7}{4-m}\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 4\\\left[{}\begin{matrix}m>4\\m\le\frac{7}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-1\le m\le\frac{7}{3}\)