Question

[hêllu the world]

Tìm GTNN của \(B=\left|x-2\right|+\left|x-3\right|+\left|x-4\right|+\left|x-5\right|\)

Answer 1

[Phùng Minh Quân]

Ta có : 

\(B=\left|x-2\right|+\left|x-3\right|+\left|x-4\right|+\left|x-5\right|\)

\(B=\left(\left|x-2\right|+\left|x-5\right|\right)+\left(\left|x-3\right|+\left|x-4\right|\right)\)

\(B=\left(\left|x-2\right|+\left|5-x\right|\right)+\left(\left|x-3\right|+\left|4-x\right|\right)\)

+) Đặt \(A=\left|x-2\right|+\left|x-5\right|\)

Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối ta có : 

\(A=\left|x-2\right|+\left|5-x\right|=\left|x-2\right|+\left|5-x\right|\ge\left|x-2+5-x\right|=\left|3\right|=3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi  \(\left(x-2\right)\left(5-x\right)\ge0\)

TH1 : \(\hept{\begin{cases}x-2\ge0\\5-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge2\\x\le5\end{cases}\Leftrightarrow}2\le}x\le5\)

TH2 : \(\hept{\begin{cases}x-2\le0\\5-x\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le2\\x\ge5\end{cases}}}\) ( loại ) 

+) Đặt \(C=\left|x-3\right|+\left|x-4\right|\)

Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối ta có : 

\(C=\left|x-3\right|+\left|x-4\right|=\left|x-3\right|+\left|4-x\right|\ge\left|x-3+4-x\right|=\left|1\right|=1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(x-3\right)\left(4-x\right)\ge0\)

TH1 : \(\hept{\begin{cases}x-3\ge0\\4-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge3\\x\le4\end{cases}}\Leftrightarrow3\le x\le4}\)

TH2 : \(\hept{\begin{cases}x-3\le0\\4-x\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le3\\x\ge4\end{cases}}}\) ( loại ) 

Để B đạt GTNN thì A và C cũng đồng thời đạt GTNN 

Suy ra : GTNN của \(B\ge A+C=3+1=4\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}2\le x\le5\\3\le x\le4\end{cases}\Leftrightarrow3\le x\le4}\)

Vậy GTNN của \(B=4\) khi \(3\le x\le4\)

Chúc bạn học tốt ~