Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
P(x^2+x+1)=x^2-x+1
=>Px^2+Px+P-x^2+x-1=0
=>(Px^2-x^2)+(Px+x)+(P-1)=0
=>x^2(P-1)+x(P+1)+(P-1)=0 (1)
coi đây là 1 pt bậc 2 ẩn x ,để P tổn tại max min thì phải có x thoả mãn max,min đó,tức là (1) có nghiệm
Xét delta = (P+1)^2-4(P-1)^2 >/ 0 =>P^2+2P+1-4(P^2-2P+1)=P^2+2P+1-4P^2+8P-4=-3P^2+10P-3
=(P-3)(1-3P) >/ 0 => 1/3<=P<=3 => minP=1/3,maxP=3
Câu 1:
Tìm max:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(y^2=(3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x})^2\leq (3^2+4^2)(x-1+5-x)\)
\(\Rightarrow y^2\leq 100\Rightarrow y\leq 10\)
Vậy \(y_{\max}=10\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\sqrt{x-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-x}}{4}\Leftrightarrow x=\frac{61}{25}\)
Tìm min:
Ta có bổ đề sau: Với $a,b\geq 0$ thì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)
Chứng minh:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geq a+b\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{ab}\geq 0\) (luôn đúng).
Dấu "=" xảy ra khi $ab=0$
--------------------
Áp dụng bổ đề trên vào bài toán ta có:
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\geq \sqrt{(x-1)+(5-x)}=2\)
\(\sqrt{5-x}\geq 0\)
\(\Rightarrow y=3(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x})+\sqrt{5-x}\geq 3.2+0=6\)
Vậy $y_{\min}=6$
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (x-1)(5-x)=0\\ 5-x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=5\)
Bài 2:
\(A=\sqrt{(x-1994)^2}+\sqrt{(x+1995)^2}=|x-1994|+|x+1995|\)
Áp dụng BĐT dạng \(|a|+|b|\geq |a+b|\) ta có:
\(A=|x-1994|+|x+1995|=|1994-x|+|x+1995|\geq |1994-x+x+1995|=3989\)
Vậy \(A_{\min}=3989\)
Đẳng thức xảy ra khi \((1994-x)(x+1995)\geq 0\Leftrightarrow -1995\leq x\leq 1994\)
\(P=\dfrac{x^2-x+1}{x^2-x+1}+\dfrac{2x}{x^2-x+1}=1+\dfrac{2x}{x^2-x+1}\)
Đặt \(A=\dfrac{2x}{x^2-x+1}\)
\(\Leftrightarrow Ax^2-Ax+A-2x=0\) (1)
\(\Leftrightarrow Ax^2-x\left(A+2\right)+A=0\)
\(\Delta_x=\left(A+2\right)^2-4A^2=-3A^2+4A+4\)
Để pt (1) có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3A^2+4A+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{2}{3}\le A\le2\)
\(\Leftrightarrow A\ge-\dfrac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{1}{3}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=-1\)
Vậy .....
P\(=\dfrac{x^2-x+1+2x}{x^2-x+1}\)
\(=1+\dfrac{2x}{x^2-x+1}\)
để p lớn nhất thì \(\dfrac{2x}{x^2-x+1}\) phải lớn nhất\(\Rightarrow\)\(x^2-x+1\) phải nhỏ nhất mà \(x^2-x+1=x^2-2x+1+x=\left(x-1\right)^2+x\) \(\Rightarrow\) x phải lớn hơn hoặc bằng 0
Câu 1:
\(A=\dfrac{81x}{3-x}+\dfrac{3}{x}=\dfrac{81x}{3-x}+\left(\dfrac{3}{x}-1\right)+1=\dfrac{81x}{3-x}+\dfrac{3-x}{x}+1\ge2\sqrt{\dfrac{81x}{3-x}.\dfrac{3-x}{x}}+1=18+1=19\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 0,3
Câu 2:
\(\dfrac{1}{3x-2\sqrt{6x}+5}=\dfrac{1}{\left(3x-2\sqrt{6x}+2\right)+3}=\dfrac{1}{\left(x\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2+3}\le\dfrac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)
Câu 3:
\(A=2014\sqrt{x}+2015\sqrt{1-x}=2014\left(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\right)+\sqrt{1-x}\)
Ta có: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\right)^2=x+1-x+2\sqrt{x\left(1-x\right)}=1+2\sqrt{x\left(1-x\right)}\ge1\)
=> \(A=2014\left(\sqrt{x}-\sqrt{1-x}\right)+\sqrt{1-x}\ge2014+\sqrt{1-x}\ge2014\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 1
\(x^2-x+1>0\)
\(P-2=\dfrac{x^2+1}{x^2-x+1}-\dfrac{2}{1}=\dfrac{x^2+1-2\left(x^2-x+1\right)}{x^2-x+1}\)
\(P-2=\dfrac{-\left(x^2-2x+1\right)}{x^2-x+1}=\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{MSC}\le0\Rightarrow P\le2\)
\(\dfrac{2}{3}-P=\dfrac{2}{3}-\dfrac{x^2+1}{x^2-x+1}=\dfrac{2x^2-2x+2-3x^2-3}{x^2-x+1}=\dfrac{-\left(x+1\right)^2}{x^2-x+1}\le0\Rightarrow P\ge\dfrac{2}{3}\\ \)
Kết luận
GTLN P=2 khi x=-1
GTNNP =2/3 khi x=-1
\(A=\dfrac{2x+1}{x^2+2}\)
*Min A:
Ta có: \(A=\dfrac{2x+1}{x^2+2}\)
\(=\dfrac{4x+2}{2\left(x^2+2\right)}=\dfrac{\left(x^2+4x+4\right)-\left(x^2+2\right)}{2\left(x^2+2\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x+2\right)^2}{2\left(x^2+1\right)}+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2},\forall x\in R\)
Vậy \(Min_A=\dfrac{1}{2}khi\left(x+2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x+2=0\Leftrightarrow x=-2\)
*Max A:
Ta có: \(A=\dfrac{2x+1}{x^2+2}\)
\(=\dfrac{x^2+2-x^2+2x-1}{x^2+2}\)
\(=\dfrac{(x^2+2)-(x^2-2x+1)}{x^2+2}\)
\(=\dfrac{x^2+2}{x^2+2}-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\)
\(=1-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\le0,\forall x\in R\)
Vậy \(Max_A=1khi\left(x-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)
ĐKXĐ: \(x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ne0\) với mọi x
\(\Leftrightarrow x^2-x+1=Px^2+Px+P\)
\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)x^2+\left(P+1\right)x+P-1=0\) (1)
Phương trình (1) ẩn x phải có nghiệm
+) P = 1 => x = 0
+) \(P\ne1\) thì (1) là phương trình bậc 2. Phương trình (1) có nghiệm khi
\(\Delta=\left(P+1\right)^2-4\left(P-1\right)^2>0\) \(\Leftrightarrow-3P^2+10P-3\ge0\Leftrightarrow P^2-\dfrac{10}{3}P+1\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(P-\dfrac{5}{3}\right)^2\le\dfrac{16}{9}\Leftrightarrow-\dfrac{4}{3}\le P-\dfrac{5}{3}\le\dfrac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\le P\le3\)
+) \(P=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{4}{3}x-\dfrac{2}{3}=0\Leftrightarrow x=1\)
+) \(P=3\Leftrightarrow2x^2+4x+2=0\Leftrightarrow x=-1\)
Vậy Min P = \(\dfrac{1}{3}\) khi x = 1, Max P = 3 khi x = -1
Ap dụng bất đẳng thức cosy cho 3 số a+b+c\(\ge\)3\(\sqrt[3]{abc}\) thi ta có
x2-x+1\(\ge\)3\(\sqrt[3]{x^2.-x.1}\)=3.-x
x2+x+1\(\ge\)3\(\sqrt[3]{x^2}x1\)=3.x
do đó P\(\ge\)\(\dfrac{3.-x}{3.x}\)=-1