Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:
$A=|x+2|+|x+3|=|x+2|+|-x-3|\geq |x+2-x-3|=1$
Vậy GTNN của $A$ là $1$. Giá trị này đạt tại $(x+2)(-x-3)\geq 0$
$\Leftrightarrow (x+2)(x+3)\leq 0$
$\Leftrightarrow -3\leq x\leq -2$
2. ĐKXĐ: $x\geq 1$
\(B=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{(x-1)+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(x-1)-2\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=|\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|\)
\(=|\sqrt{x-1}+1|+|1-\sqrt{x-1}|\geq |\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}|=2\)
Vậy gtnn của $B$ là $2$. Giá trị này đạt tại $(\sqrt{x-1}+1)(1-\sqrt{x-1})\geq 0$
$\Leftrightarrow 1-\sqrt{x-1}\geq 0$
$\Leftrightarrow 0\leq x\leq 2$
ĐK \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne9\end{cases}}\)
a, \(R=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-3\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\frac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}\)
\(=\frac{3x-6\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}=\frac{3\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{3\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+3}\)
b. \(R< -1\Rightarrow R+1< 0\Rightarrow\frac{3\sqrt{x}-9+\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}< 0\Rightarrow\frac{4\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+3}< 0\)
\(\Rightarrow0\le x< \frac{9}{4}\)
c. \(R=\frac{3\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+3}=3+\frac{-18}{\sqrt{x}+3}\)
Ta thấy \(\sqrt{x}+3\ge3\Rightarrow\frac{-18}{\sqrt{x}+3}\ge-6\Rightarrow3+\frac{-18}{\sqrt{x}+3}\ge-3\Rightarrow R\ge-3\)
Vậy \(MinR=-3\Leftrightarrow x=0\)
C = ..................................................................... ( giống cái đề bài )
= ( x + 2017 ) + ( x + 2018 ) + ( x + 2019 )
= ( x + x + x ) + ( 2017 + 2018 + 2019 )
= 3x + 6054
Vì ( x + 2017 ) là căn bậc 2 của ( x+2017 )^2 => x+2017 > hoặc = 0
( x + 2018 ) ........................... ( x+2018)^2 => x+2018 > hoặc = 0
( x + 2019) ............................( x+2019 )^2 => x+2019 > hoặc = 0
SUY RA ( x+2017 ) + ( x+2018 ) + ( x+2019 ) > hoặc = 0 => 3x + 6054 > hoặc = 0
dấu đẳng thức xảy ra <=> 3x + 6054 = 0 <=> 3x = - 6054 <=> x = - 2018
Vậy C có GTNN là 0 khi x = - 2018
Bài này cô cũng nghĩ là dùng phương pháp toa độ, chuyển qua hình học giải tích Oxy để giải.
Cô làm như sau:
Từ biểu thức P ta nghĩ đến công thức tính khoảng cách giữa hai điểm. Từ đó ta đặt \(A\left(-1;1\right);B\left(1;-1\right);C\left(-2;-2\right)\) và \(D\left(x;y\right)\). Khi đó ta thấy ngay \(P\left(x;y\right)=DA+DB+DC\)
Ta vẽ các điểm trên trục tọa độ:
Vậy điểm D cần tìm là điểm tạo với các cạnh tam giác góc 120o. (Để hiểu rõ thêm e có thể đọc về điểm Toricenli của tam giác ABC). Do tam giác ABC cân tại C nên D thuộc CO, nói cách khác xD = yD.
Do \(\widehat{ADB}=120^o\Rightarrow\widehat{ADO}=60^o.\) Vậy thì \(tan60^o=\sqrt{3}=\frac{OA}{DO}\)
Do \(OA=\sqrt{2}\Rightarrow DO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Vậy \(\sqrt{x_D^2+y_D^2}=\sqrt{2y_D^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}\Rightarrow\left|x_D\right|=\left|y_D\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Từ hình vẽ ta có: \(x_D=y_D=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
Vậy \(P\left(x;y\right)=DA+DB+DC=\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}-1\right)^2}\)
\(+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}-1\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^2}+\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+2\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}+2\right)^2}\)
\(=\sqrt{6}+2\sqrt{2}.\)
Vậy min P(x;y) = \(\sqrt{6}+2\sqrt{2}\) khi \(x=y=-\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 0; x\neq 1$
\(P=\frac{x+\sqrt{x}-(x+2)}{\sqrt{x}+1}:\left[\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}+\frac{\sqrt{x}-4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\right]\)
\(=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}:\frac{x-\sqrt{x}+\sqrt{x}-4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}:\frac{x-4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}.\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+2}\)
Với mọi $x\geq 0; x\neq 1$ thì $\sqrt{x}+2\geq 2$
$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+2}\leq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow P=1-\frac{3}{\sqrt{x}+2}\geq 1-\frac{3}{2}=\frac{-1}{2}$
Vậy $P_{\min}=\frac{-1}{2}$ khi $x=0$
a: \(P=\left(\dfrac{2+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{1}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
b: Để P nguyên thì \(\sqrt{x}+1⋮\sqrt{x}-1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1\in\left\{-1;1;2\right\}\)
hay \(x\in\left\{0;4;9\right\}\)
Cách 1: Ta nhận thấy với mọi \(x>0\) thì \(3\sqrt{x}+2>2\sqrt{x}+2\), do đó \(B>1\). Với \(x=0\) thì \(B=1\). Do đó \(min_B=1\Leftrightarrow x=0\)
Cách 1 tuy nhanh gọn nhưng nó chỉ có tác dụng trong một số ít các trường hợp. Trường hợp này may mắn cho ta ở chỗ ta có thể đánh giá tử lớn hơn hoặc bằng mẫu với mọi \(x\ge0\) (dấu "=" chỉ xảy ra khi \(x=0\))
Cách 2: \(B=\dfrac{3\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}+2}\)
\(\Leftrightarrow2B\sqrt{x}+2B=3\sqrt{x}+2\)
\(\Leftrightarrow\left(2B-3\right)\sqrt{x}=2-2B\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{2-2B}{2B-3}\)
Vì \(\sqrt{x}\ge0\) nên \(\dfrac{2-2B}{2B-3}\ge0\)
\(\Leftrightarrow1\le B< \dfrac{3}{2}\). Như vậy \(min_B=1\Leftrightarrow x=0\)
Rõ ràng cách 2 dài hơn cách 1 nhưng nó có thể áp dụng trong nhiều dạng bài tìm GTNN hay GTLN khác nhau. Bạn xem xét bài toán rồi chọn cách làm cho phù hợp là được.
B = \(\dfrac{3\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}+2}\) = \(\dfrac{3\sqrt{x}+3-1}{2\sqrt{x}+2}\) = \(\dfrac{3\left(\sqrt{x}+1\right)-1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}\) = \(\dfrac{3}{2}\) - \(\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
Vì \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}+2}\) > 0 ∀ \(x\) ≥ 0 ⇒ B min ⇔A = \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}+2}\) max
2\(\sqrt{x}\) ≥ 0 ⇒ 2\(\sqrt{x}\) + 2 ≥ 2 ⇒ Max A = \(\dfrac{1}{2}\) ⇔ \(x\) = 0
Vậy Min B = \(\dfrac{3}{2}\) - \(\dfrac{1}{2}\) = 1 ⇔ \(x\) = 0
\(B=\sqrt{\left(x-2004\right)^2}+\sqrt{\left(x-2005\right)^2}\)
\(=\left|x-2004\right|+\left|x-2005\right|\)
\(=\left|x-2004\right|+\left|-\left(x-2005\right)\right|\)
\(=\left|x-2004\right|+\left|2005-x\right|\)
\(\ge\left|x-2004+2005-x\right|=\left|1\right|=1\)
Dấu "=" xảy ra khi ( x - 2004 )( 2005 - x ) ≥ 0
=> 2004 ≤ x ≤ 2005
=> MinB = 1, đạt được khi 2004 ≤ x ≤ 2005