Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng định lý Bezout ta được:
chia cho x+1 dư 2
Vì bậc của đa thức chia là 3 nên
Vì nên
Vì f(x) chia cho dư 2x+3 nên
Từ (1) và (2)
Vậy dư f(x) chia cho là
Lời giải:
Theo định lý Bê-du về phép chia đa thức, thương của $f(x)$ khi chia cho $q(x)=x-1$ là:
$f(1)=1^3+1^9+1^{27}+1^{243}=4$
Viết lại cho dễ nhìn là :
\(1+x+x^{19}+x^{199}+x^{1995}=\left(-x\right)\left(1-x^{1994}\right)-x\left(1-x^{198}\right)-x\left(1-x^{18}\right)+4x+`\)do đó chia cho (1 - x2) dư (4x + 1)
Sử dụng định lý Bezout:
a/ \(g\left(x\right)=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)
\(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=0\\f\left(2\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\2a+b=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-2\end{matrix}\right.\)
b/ \(g\left(x\right)=0\Rightarrow x=-1\)
\(\Rightarrow f\left(-1\right)=0\Rightarrow-a+b=2\Rightarrow b=a+2\)
Tất cả các đa thức có dạng \(f\left(x\right)=2x^3+ax+a+2\) đều chia hết \(g\left(x\right)=x+1\) với mọi a
c/ \(g\left(x\right)=0\Rightarrow x=-2\Rightarrow f\left(-2\right)=0\Rightarrow4a+b=-30\)
\(2x^4+ax^2+x+b=\left(x^2-1\right).Q\left(x\right)+x\)
Thay \(x=1\Rightarrow a+b=-2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+b=-30\\a+b=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{28}{3}\\b=\frac{22}{3}\end{matrix}\right.\)
d/ Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=8a+4b-40=0\\f\left(-5\right)=-125a+25b-75=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\\b=\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(f\left(x\right)=1+x+x^{19}+x^{199}+x^{1995}\)
\(=\left(x^{1995}-x\right)+\left(x^{199}-x\right)+\left(x^{19}-x\right)+4x+1\)
\(=-x\left[1-\left(x^2\right)^{997}\right]-x\left[1-\left(x^2\right)^{99}\right]-x\left[1-\left(x^2\right)^9\right]+4x+1\)
\(=-x.\left(1-x^2\right).A\left(x\right)-x.\left(1-x^2\right).B\left(x\right)-x.\left(1-x^2\right).C\left(x\right)+4x+1\)
Vậy ta có số dư của \(f\left(\right)\) cho \(q\left(x\right)\) là \(4x+1\)
Vì đa thức chia cho bậc là \(2\)
nên số dư có dạng : \(ax+b\)
Gọi thương của phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(Q\left(x\right)\) là : \(P\left(x\right)\)
Ta có : \(f\left(x\right)=P\left(x\right).Q\left(x\right)+ax+b\)
\(=P\left(x\right).\left(1-x^2\right)+ax+b\)
\(=P\left(x\right)\left(1-x\right)\left(1+x\right)+ax+b\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=a+b\\f\left(-1\right)=-a+b\end{matrix}\right.\)
Lại có : \(f\left(x\right)=1+x+x^{19}+x^{199}+x^{1995}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=5\\f\left(-1\right)=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\-a+b=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b-a+b=5-3\)
\(\Rightarrow2b=2\)
\(\Rightarrow b=1\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(\Rightarrow\) Đa thức dư là : \(4x+1\)