Question

[Lê Phương Chi]

Tìm các số tự nhiên x và y thỏa mãn

5^x = y^2 + y +1

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Nếu $y\vdots 5$ thì $5^x=y^2+y+1$ chia 5 dư 1

$\Rightarrow x=0$

Khi đó: $y^2+y+1=5^0=1\Rightarrow y^2+y=0$

$\Rightarrow y(y+1)=0$. Mà $y$ là stn nên $y=0$

Nếu $y$ chia 5 dư 1. Đặt $y=5k+1$. Khi đó:

$y^2+y+1=(5k+1)^2+5k+1+1=25k^2+15k+3$ chia 5 dư 3
$\Rightarrow 5^x$ chia 5 dư 3 (vô lý -loại) 

Nếu $y$ chia 5 dư 2. Đặt $y=5k+2$, Khi đó:

$y^2+y+1=(5k+2)^2+5k+2+1=25k^2+25k+7$ chia 5 dư 2

$\Rightarrow 5^x$ chia 5 dư 2 (vô lý)

Nếu $y$ chia 5 dư 3. Đặt $y=5k+3$, Khi đó:

$y^2+y+1=(5k+3)^2+5k+3+1=25k^2+35k+13$ chia 5 dư 3

$\Rightarrow 5^x$ chia 5 dư 3 (vô lý)

Nếu $y$ chia 5 dư 4. Đặt $y=5k+4$, Khi đó:

$y^2+y+1=(5k+4)^2+5k+4+1=25k^2+45k+21$ chia 5 dư 1

$\Rightarrow 5^x$ chia 5 dư 1 $\Rightarrow x=0$

$\Rightarrow y^2+y+1=5^x=1\Rightarrow y^2+y=0$

$\Rightarrow y(y+1)=0\Rightarrow y=0$ (do $y$ là stn). Mà $y$ chia 5 dư 4 nên ô lý.

Vậy $(x,y)=(0,0)$