Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nhân cả 2 vế với 4, ta có:
8a2+4b2+4c2+4d2+4e2=4a(b+c+d+e)
<=> 8a2+4b2+4c2+4d2+4e2 - 4a(b+c+d+e) = 0
<=> 8a2+4b2+4c2+4d2+4e2 - 4ab-4ac-4ad-4ae=0
<=>(a2-4ab+4b2) + (a2-4ac+4c2) + (a2-4ad+ 4d2) + (a2-4ae+ 4e2) +4a2=0
<=> (a-2b)2 + (a-2c)2 + (a-2d)2 + (a-2e)2 + (2a)2 = 0
Vì (a-2b)2, (a-2c)2, (a-2d)2, (a-2e)2 , (2a)2 luôn lớn hơn hoặc bằng không
=> (a-2b)2 + (a-2c)2 + (a-2d)2 + (a-2e)2 + (2a)2 >= 0
mà (a-2b)2 + (a-2c)2 + (a-2d)2 + (a-2e)2 + (2a)2 = 0
nên
(2a)2 = 0 <=> a=0
(a-2b)2 = 0 <=> (0-2b)2=0 <=> 2b=0 <=> b=0
Chứng minh tương tự ta được a=b=c=d=e=0
Vậy a=b=c=d=e=0
Áp dụng BĐT \(4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\right)\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Rightarrow\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\)\(\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ae+4e^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c^2\right)+\left(a-2d^2\right)+\left(a-2e\right)^2\ge0\)( Luôn đúng với mọi trường hợp )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2b=2c=2d=2e\)
P/s không hiểu thì: \(2xy\le x^2+y^2\forall x=2a;y=b+c+d+e\)
Có thể dùng BĐT Bunhiaxicop cho 4 số
Đặt;\(\frac{a}{d}=x;\frac{b}{e}=y;\frac{c}{f}=z\left(x,y,z>0\right)\)\(\Rightarrow\)Ta cần tính \(x^2+y^2+z^2\)
Suy ra ta có hệ phương trình;\(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\left(1\right)\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (2) suy ra xy+yz+xz=0
Lại có \(1=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
Suy ra \(x^2+y^2+z^2=1\)
Bài 2 xét x=0 => A =0
xét x>0 thì \(A=\frac{1}{x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}}\)
để A nguyên thì \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\inƯ\left(1\right)\)
=>cho \(x-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\)bằng 1 và -1 rồi giải ra =>x=?
1,Ta có \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)
=> \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=2\)
\(a+2=a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\)
\(b+2=\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)\)
\(c+2=\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\)
=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}+\frac{\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}+...\)
=> \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+...=\frac{2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
=> M=0
Vậy M=0
Với mọi a;b;c;d;e ta có:
\(\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{a}{2}=b=c=d=e\)
BĐT
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-\left(4ab+4ac+4ad+4ae\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2+a^2-4ac+4c^2+a^2-4ad+4d^2+a^2-4ae+4e^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\), luôn đúng với \(\forall a,b,c,d,e\in R\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=2b=2c=2d=2e\)
làm xong ấn hủy :(( chán
\(bđt\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2e^2-2ab-2ac-2ad-2ae\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a\left(d+e\right)+\left(d+e\right)^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2+d^2-2de+e^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-d-e\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-b-c\right)^2+\left(d-e\right)^2\ge0\)*đúng*
Vậy ta có điều phải chứng minh
cách khác câu a)
ta xét P=a2-a(b+c+d+e)+b2+c2+d2+e2 là một tam thức bậc 2 theo biến a ta có \(\Delta=\left(b+d+c+e\right)^2-4\left(b^2+d^2+c^2+e^2\right)\)
theo bđt cauchy-schwarz ta có \(\left(1+1+1+1\right)\left(b^2+c^2+d^2+e^2\right)\ge\left(b+d+c+e\right)^2\)
do đó \(\Delta\le0\), theo định lí về dấu của tam thức bậc hai ta được
a2-a(b+c+d+e) +b2+c2+d2+e2>=0
bài toán được chứng minh
\(2a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow8a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2=4ab+4ac+4ad+4ae\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ae+4e^2\right)+4a^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2+4a^2=0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=d=e=0\)