Question

[chi chăm chỉ]

Tfm tất cả các số nguyên dương n sao cho \(n^4+n^3+1\) là số chính phương

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

Giả sử n⁴+n³+1 là SCP

Vì n⁴+n³+1=(n²)² nên ta có:

n⁴+n³+1=(n²+k)²=n⁴+2kn²+k² ( k là 1 số nguyên dương)

=>n²(n-2k)=k²-1\(\ge\)0

Đặc biệt k²-1 chia hết n²

Do đó k²=1 hoặc n²\(\le\)k²-1

• Nếu k²=1 thì k=1; n²(n-2)=0 ta có n=2 (tm)
• Nếu \(k\ne1\)thì k²>k²-1\(\ge\)n²

=>k>n =>n-2<0 (mâu thuẫn với n²(n-2k)=k²-1\(\ge\)0)

Vậy n=2 thỏa mãn