Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C M O D E F I P Q T
1) Ta có 4 điểm B,O,C,M cùng thuộc đường tròn đường kính OM (^MBO = ^MCO = 900) (1)
Do MI // AB và MB tiếp xúc với (O) tại B nên ^CIM = ^CAB = ^CBM
=> 4 điểm B,I,C,M cùng thuộc một đường tròn (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm M,B,O,I,C cùng thuộc một đường tròn (đpcm).
2) Theo câu a thì M,B,I,C cùng thuộc (OM), có BC giao IM tại F => FI.FM = FB.FC
Đường tròn (O) có dây BC giao DE tại F nên FB.FC = FD.FE
Do vậy FI.FM = FD.FE => \(\frac{FI}{FE}=\frac{FD}{FM}\) (đpcm).
3) Điểm I thuộc đường tròn (OM) => ^OIM = 900 hay ^QIM = 900
Dễ thấy FQ.FT = FB.FC = FI.FM, suy ra tứ giác QMTI nội tiếp => ^QTM = ^QIM = 900
=> \(\Delta\)QTM vuông tại T. Theo ĐL Pytagoras: \(TQ^2+TM^2=QM^2\)
Vậy thì \(\frac{TQ^2+TM^2}{MQ^2}=1.\)
\(đpcm\Leftrightarrow\frac{DE+DA}{DE.DA}=\frac{2}{DF}\)
\(\Leftrightarrow DE.DF+DA.DF=2.DE.DA\)
\(\Leftrightarrow DE.DA-DE.FA+DE.DA+EF.DA=2.DE.DA\)
\(\Leftrightarrow DE.FA=FE.DA\)
\(\Leftrightarrow\frac{DE}{DA}=\frac{FE}{FA}\)(*)
Xét tam giác DEC và tam giác DCA đồng dạng (g.g)
\(\Rightarrow\frac{DE}{DA}=\frac{S_{DEC}}{S_{DCA}}=\frac{EC^2}{AC^2}\)(1)
Lại xét tam giác EFB và tam giác CFA đồng dạng (g.g)
\(\Rightarrow\frac{FE}{FA}=\frac{EF}{FB}.\frac{FB}{FA}=\frac{EC}{AB}.\frac{BE}{AC}=\frac{ EC}{AC}.\frac{BE}{AB}\)
Dễ thấy ABEC là tứ giác điều hòa \(\Rightarrow\frac{BE}{BA}=\frac{EC}{CA}\)(t/c của tứ giác điều hòa)
\(\Rightarrow\frac{FE}{FA}=\frac{EC^2}{AC^2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{FE}{FA}\)\(=\frac{DE}{DA}\)(đúng với (*))
Vậy \(\frac{1}{DE}+\frac{1}{DA}=\frac{2}{DF}\)(đpcm)