Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C M H
Kẻ đường cao AH ; Vì AB < AC => BH < HC=> H thuộc BM
Ta có: \(\sin\alpha=\frac{AB}{BC};\cos\alpha=\frac{AC}{BC};\sin\beta=\frac{AH}{AM}\)
=> \(\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2=\left(\frac{AB}{BC}+\frac{AC}{BC}\right)^2=\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}+\frac{2AB.AC}{BC^2}=1+\frac{2AB.AC}{BC^2}\)
Mà theo hệ thức lượng: \(AB^2=BC.BH;AC^2=CB.CH\)
=> \(\frac{2AB.AC}{BC^2}=2.\frac{AB}{BC}.\frac{AC}{BC}=\frac{2BH.CH}{AB.AC}=\frac{2AH^2}{AB.AC}\)
Ta cần chứng minh: \(\frac{2AH^2}{AB.AC}=\frac{AH}{AM}\Leftrightarrow2AH.AM=AB.AC\Leftrightarrow AH.BC=AB.AC\)đúng
Vậy \(1+\frac{2AB.AC}{BC^2}=1+\frac{AH}{AM}\)
=> Có điều cần phải cm
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)có :
\(C\ge\frac{4}{1+\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{1+1}=2\)
Dấu = khi a=b=1/2