K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 2 2021
ĐKXĐ: \(x>0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x\left(x^2+1\right)}}-\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}\left(\sqrt{\dfrac{x^2-x+1}{x}}-1\right)+\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x}}.\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}}+\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\) (luôn đúng \(\forall x>0\))
Vậy nghiệm của BPT đã cho là \(x>0\)
DF
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 2 2021
ĐKXĐ: \(x^2\ge2\)
Đặt \(\sqrt{x^2-2}=a\ge0\)
BPT tương đương: \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3a^2+11}}\le\dfrac{2}{a+1}\)
Ta có: \(VT^2\le2\left(\dfrac{1}{a^2+3}+\dfrac{1}{3a^2+11}\right)< 2\left(\dfrac{1}{a^2+3}+\dfrac{1}{3a^2+1}\right)=\dfrac{8\left(a^2+1\right)}{\left(3a^2+1\right)\left(a^2+3\right)}\)
Mặt khác ta có: \(\left(a-1\right)^4\ge0\Leftrightarrow a^4-4a^3+6a^2-4a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow3a^4+10a^2+3\ge2a^4+4a^3+4a^2+4a+2\)
\(\Leftrightarrow\left(3a^2+1\right)\left(a^2+3\right)\ge2\left(a^2+1\right)\left(a+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{8\left(a^2+1\right)}{\left(3a^2+1\right)\left(a^2+3\right)}\le\dfrac{4}{\left(a+1\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT^2< \dfrac{4}{\left(a+1\right)^2}\Rightarrow VT< \dfrac{2}{a+1}\)
\(\Rightarrow\) BPT đã cho đúng với mọi \(a\ge0\) hay nghiệm của BPT là \(x^2\ge2\)
11 tháng 6 2021
`sqrt{x-2}-2>=sqrt{2x-5}-sqrt{x+1}`
`đk:x>=5/2`
`bpt<=>\sqrt{x-2}+\sqrt{x+1}>=\sqrt{2x-5}+2`
`<=>x-2+x+1+2\sqrt{(x-2)(x+1)}>=2x-5+4+4\sqrt{2x-5}`
`<=>2x-1+2\sqrt{(x-2)(x+1)}>=2x-1+4\sqrt{2x-5}`
`<=>2\sqrt{(x-2)(x+1)}>=4\sqrt{2x-5}`
`<=>sqrt{x^2-x-2}>=2sqrt{2x-5}`
`<=>x^2-x-2>=4(2x-5)`
`<=>x^2-x-2>=8x-20`
`<=>x^2-9x+18>=0`
`<=>(x-3)(x-6)>=0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le 3\end{array} \right.\)
Kết hợp đkxđ:
`=>` \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\\dfrac52 \le x \le 3\end{array} \right.\)
DH
0
NT
1
PP
9 tháng 5 2020
ĐK x>5
BPT<=> \(x-4\le2\) ( rút gọn cả tử và mẫu cho \(\sqrt{x-5}>0\))
<=>x\(\le\)6
Kết hợp với ĐK => 5<x\(\le\)6
ĐKXĐ:\(-1\le x\le1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{1+x}=a\\\sqrt{1-x}=b\end{matrix}\right.\left(a;b\ge0\right)\)
Khi đó ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=2\\x^2=1-ab\end{matrix}\right.\). Thay vào bpt ta có:
\(a+b\le a^2+b^2-\frac{1-ab}{4}\)
Có:\(\left(a+b\right)^2-\frac{7}{4}ab-\frac{1}{4}=\left(a+b\right)^2-\frac{7}{4}\left(\frac{\left(a+b\right)^2-2}{2}\right)-\frac{1}{4}=\left(a+b\right)^2-\frac{7}{8}\left(a+b\right)^2+\frac{7}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{2}\)bpt <=>\(\frac{1}{8}\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)+\frac{3}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-8\left(a+b\right)+12\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-6\right)\left(a+b-2\right)\ge0\left(1\right)\)
Có: \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2< 6\)
=> bpt (1) đúng \(\forall x\in\left[-1;1\right]\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [-1;1]