Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
#)Giải :
\(a^2+b^2\le1+ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\le a+b\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\le a+b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)\left(a^3+b^3\right)\le\left(a+b\right)\left(a^5+b^5\right)\left(a^3+b^3=a^5+b^5\right)\)
\(\Leftrightarrow a^6+2a^3b^3+b^6\le a^6+ab^5+a^5b+b^6\)
\(\Leftrightarrow a^5b+ab^5\ge2a^3b^3\)
\(\Leftrightarrow a^5b+ab^5-2a^3b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)( luôn đúng \(\forall a;b>0\))
Vậy \(a^2+b^2\le1+ab\left(đpcm\right)\)
P/s : Bài này mk tham khảo trên mạng ( tại thấy rảnh nên chép hộ ^^ )
a) Xét : \(P^2=\frac{3\left(a-b\right)^2}{3\left(a+b\right)^2}=\frac{3\left(a^2+b^2\right)-6ab}{3\left(a^2+b^2\right)+6ab}=\frac{10ab-6ab}{10ab+6ab}=\frac{4ab}{16ab}=\frac{1}{4}\)
Vì a > b > 0 nên P > 0 . Vậy \(P=\frac{1}{2}\)
b) Tương tự.
a/ \(3a^2+3b^2=10ab\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2\right)=10ab\Leftrightarrow a^2+b^2=\frac{10ab}{3}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=\frac{10ab}{3}-2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=\frac{4ab}{3}\)
tương tự: \(a^2+b^2=\frac{10ab}{3}\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=\frac{10ab}{3}+2ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=\frac{16ab}{3}\)
\(\Rightarrow P^2=\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2=\frac{\frac{4ab}{3}}{\frac{16ab}{3}}=\frac{1}{4}\Rightarrow P=\frac{1}{2}\)
Câu b). Theo đầu bài ta có:
\(2a^2+2b^2=5ab\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2=ab+4ab\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2-4ab=ab\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2-2ab\right)=ab\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=\frac{ab}{2}\)
\(\Rightarrow a-b=\sqrt{\frac{ab}{2}}\)
Mà \(2a^2+2b^2=5ab\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2=9ab-4ab\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+4ab=9ab\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+2ab\right)=9ab\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\frac{9ab}{2}\)
\(\Rightarrow a+b=\sqrt{\frac{9ab}{2}}\)
Từ trên suy ra:
\(Q=\frac{a+b}{a-b}=\left(a+b\right):\left(a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow Q=\sqrt{\frac{9ab}{2}}:\sqrt{\frac{ab}{2}}\)
\(\Leftrightarrow Q=\sqrt{\frac{9ab}{2}:\frac{ab}{2}}\)
\(\Leftrightarrow Q=\sqrt{\frac{9\cdot ab\cdot2}{ab\cdot2}}\)
\(\Leftrightarrow Q=\sqrt{9}=3\)
Ap dung bdt \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right).\left(x,y>0\right)\) lien tiep la duoc
Chuc bn thanh cong
svác-xơ ngược dấu.
\(\frac{16}{2a+3b+3c}=\frac{16}{\left(a+b\right)+\left(c+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{a+b}+\frac{2}{c+b}+\frac{1}{c+a}\)
Tương tự
\(\frac{16}{2b+3c+3a}\le\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)
\(\frac{16}{2c+3a+3b}\le\frac{2}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)
Cộng lại ta được:
\(16VT\le4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\left(đpcm\right)\)
Làm tạm vào đây vậy
từ gt dễ dàng => \(ab+bc+ca\le3\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
Áp dụng cô si ta có
\(\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\right)\)
Tương tự như vậy rồi ccộng vào nhá nhok
a: 5b>3b
nên 5b-3b>0
=>2b>0
hay b>0
b: -12b>8b
nên -20b>0
hay b<0
c: -6b>=9b
nên -6b-9b>=0
=>b<=0
d: 3b<=15b
=>3b-15b<=0
=>-12b<=0
hay b>=0