NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
23 tháng 3 2018
Câu 1:
Ta có: \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2^2}-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\)
Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\) (1)
Ta có: \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2a^2-2b^2-a^2-2ab-b^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab-b^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\)
Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
AW
23 tháng 3 2018
5 , a3+b3+c3\(\ge\) 3abc
\(\Leftrightarrow\) a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3a2b-3ab2-3abc\(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) (a+b)3+c3-3ab(a+b+c) \(\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) (a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c2)-3ab(a+b+c) \(\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)\(\ge0\) (1)
ta co : a,b,c>0 \(\Rightarrow\)a+b+c>0 (2)
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge0\)
<=> 2a2+2b2+2c2-2ac-2cb-2ab\(\ge0\)
<=>a2+b2+c2-ab-bc-ac\(\ge\) 0 (3)
Từ (1)(2)(3)=> pt luôn đúng
21 tháng 8 2022
a: \(a^3+b^3-a^2b-ab^2\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2>=0\)
=>\(a^3+b^3>=a^2b+ab^2\)
c: \(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab=1-2ab>=\dfrac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Lời giải:
Vì $1=a^2+b^2+c^2$ nên:
\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{c^2+a^2}\)
\(=3+\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\)
\(\leq 3+\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}\) (theo BĐT AM-GM)
\(=3+\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
T
6 tháng 9 2019
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
6 tháng 10 2020
Mình xem phép làm câu 1 ạ.
Đề là?
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)(1)
Chứng minh tương đương
\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)<=> 12ac - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0 ( quy đồng ) (2)
Từ (1) <=> 2ac = ab + bc Thay vào (2) <=> 6ab + 6bc - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0
<=> a + c \(\ge\)2b
Từ (1) => \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)
=> a + c \(\ge\)2b đúng => BĐT ban đầu đúng
Dấu "=" xảy ra <=> a = c = b
8 tháng 7 2018
a) Đặt \(A=\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)...\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)
\(2A=2.\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)...\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)
\(2A=\left(3-1\right)\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)...\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)
\(2A=\left(3^2-1\right)\left(3^2+1\right)...\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)
\(2A=\left(3^4-1\right)...\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)
\(...\)
\(2A=\left(3^{32}-1\right)\left(3^{32}+1\right)\)
\(2A=3^{64}-1\)
\(A=\frac{3^{64}-1}{2}\)
Nhìn biểu thức rối quá. Bạn cần viết lại bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn.