HB
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HT
0
3 tháng 4 2020
1)Cho a,b,c >0
Chứng minh bc/a^2(b+c) + ca/b^2(c+a) +ab/c^2(a+b) > hoặc = 1/2(1/a+1/b+1/c)
2) Cho a,b,c>0 1/a + 1/b + 1/c =1
Chứng minh (b+c)/a^2 + (c+a)/b^2 + (a+b)/c^2 > hoặc = 2
Đọc tiếp...
10 tháng 1 2016
\(x^4+\sqrt{x^2+3}=3\)
\(\Leftrightarrow x^4-1+\sqrt{x^2+3}-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\frac{x^2+3-4}{\sqrt{x^2+3}+2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{\sqrt{x^2+3}+2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1+\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\)vì \(x^2+1+\frac{1}{\sqrt{x^2+3}+2}>0\)
\(\Leftrightarrow\int^{x=1}_{x=-1}\)
\(a+b+c+ab+ac+bc=6abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=6\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\left(x;y;z>0\right)\)
Ta được: \(x+y+z+xy+xz+yz=6\)
Ta đi chứng minh: \(x^2+y^2+z^2\ge3\)
Có: \(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)(Cô-si)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;x^2+z^2\ge2xz\)(Cô-si)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2\left(xy+xz+yz\right)\)(2)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z
cộng vế với vế của (1) và (2)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1<=>a=b=c=1
Nhớ tick nhé
TN
8 tháng 8 2017
a)\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}+b^2-b+\frac{1}{4}+c^2-c+\frac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1+1\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)
\(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}{2}>\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)
c)\(BDT\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\)
Khi a=b
12 tháng 4 2018
\(Từ GT, ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge6\) Áp dụng bđt AM - GM, ta lại có: \(\frac{1}{a^2}+1\ge\frac{2}{a};\frac{1}{b^2}+1\ge\frac{2}{b};\frac{1}{c^2}+1\ge\frac{2}{c}\) \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab};\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc};\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\ge\frac{2}{ac}\) Cộng theo vế ta có: \(3\left(\text{∑}\frac{1}{a^2}\right)+3\ge2\left(\text{∑}\frac{1}{a}+\text{∑}\frac{1}{ab}\right)\Leftrightarrow\text{∑}\frac{1} {a^2}\ge3\left(đ\text{pcm}\right)\) \(\text{Dau }"="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
11 tháng 4 2018
Từ GT, ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge6\)
Áp dụng bđt AM - GM, ta lại có:
\(\frac{1}{a^2}+1\ge\frac{2}{a};\frac{1}{b^2}+1\ge\frac{2}{b};\frac{1}{c^2}+1\ge\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab};\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc};\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\ge\frac{2}{ac}\)
Cộng theo vế ta có:
\(3\left(\text{∑}\frac{1}{a^2}\right)+3\ge2\left(\text{∑}\frac{1}{a}+\text{∑}\frac{1}{ab}\right)\Leftrightarrow\text{∑}\frac{1}{a^2}\ge3\left(đ\text{pcm}\right)\)
\(\text{Dau }"="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
10 tháng 3 2018
a^4 +b^4 >= ab^3 +a^3 b (1)
<=> 4a^4 +4b^4 - 4ab(a^2 +b^2) >= 0
<=> [(a^2 +b^2 )^2 - 4ab(a^2 +a^2) +4a^2 b^2 ] +3a^4 +3b^4 -6a^2 b^2 >=0
<=> (a -b )^4 +3(a^4 + b^4 -2a^2 b^2 ) >= 0 (2)
cos (a-b )^4 >= 0
a^4 + b^4 >= 2a^2 b^2 (co si có thể không cần co si cũng được )
=> (2) đúng => (1) đúng => dpcm
b) a^2 +b^2 +1 >= ab +a+b (1)
<=>2a^2 +2b^2 +2 -2ab -2a-2b >=0
<=>[a^2 +b^2 -2ab ] +[a^2 -2a +1] +[b^2 -2b +1 ] >=0
<=>(a -b)^2 +(a-1)^2 + (b-1)^2 >=0 (2)
(2) đúng (1) đúng => dpcm
9 tháng 6 2016
b, \(a+b+2\sqrt{a.b}=\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}+2\sqrt{ab}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\) ( Vì a, b >= 0 )
c, \(a+b-2\sqrt{a.b}=\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}-2\sqrt{ab}=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\)( Vì a, b >= 0 )