Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)Cho a,b,c >0
Chứng minh bc/a^2(b+c) + ca/b^2(c+a) +ab/c^2(a+b) > hoặc = 1/2(1/a+1/b+1/c)
2) Cho a,b,c>0 1/a + 1/b + 1/c =1
Chứng minh (b+c)/a^2 + (c+a)/b^2 + (a+b)/c^2 > hoặc = 2
Đọc tiếp...
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
\(a+b+c=6abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=6\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a}=x\\\frac{1}{b}=y\\\frac{1}{c}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xy+xz+yz=6\)
\(P=\sum\frac{\frac{1}{yz}}{\frac{1}{x^3}\left(\frac{1}{z}+\frac{2}{y}\right)}=\sum\frac{x^3}{y+2z}=\sum\frac{x^4}{xy+2xz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+xz+yz\right)}\ge\frac{\left(xy+xz+yz\right)^2}{3\left(xy+xz+yz\right)}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)
Bài 6 . Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)
⇔ ( a + b)2 ≥ 4ab
⇔ \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)≥ ab
⇔ \(\dfrac{a+b}{4}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) ( 1 )
CMTT , ta cũng được : \(\dfrac{b+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{bc}{b+c}\) ( 2) ; \(\dfrac{a+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{ac}{a+c}\)( 3)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , Ta có :
\(\dfrac{a+b}{4}\) + \(\dfrac{b+c}{4}\) + \(\dfrac{a+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) + \(\dfrac{bc}{b+c}\) + \(\dfrac{ac}{a+c}\)
⇔ \(\dfrac{a+b+c}{2}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) + \(\dfrac{bc}{b+c}\) + \(\dfrac{ac}{a+c}\)
Bài 4.
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương a , b, c , ta có :
\(1+\dfrac{a}{b}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) ( a > 0 ; b > 0) ( 1)
\(1+\dfrac{b}{c}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{b}{c}}\) ( b > 0 ; c > 0) ( 2)
\(1+\dfrac{c}{a}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\) ( a > 0 ; c > 0) ( 3)
Nhân từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta được :
\(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\) ≥ \(8\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}=8\)
a)Áp dụng BĐT B.C.S:(1^2+1^2)(x^2+y^2)>=(1.x+1.y)^2>>>2(x^2+y^2)>=(x+y)^2.Sau đó chia 2 ở cả 2 vế.
Áp dụng BĐT Cô-si:(x+y)>=2√xy >>>>(x+y)^2/2>=2xy(đpcm)
b)a^2+1/(a^2+1)=a^2+1+1/(a^2+1)-1>=2-1=1(BĐT Cô-si)
c)a^2+b^2>=2ab suy ra (a^2+b^2)c>=2abc,tương tự rồi cộng lại là >=6abc nhé
d)ab/a+b<=(a+b)^2/4(a+b)(cm ở câu a)=(a+b)/4
Tương tự cộng lại được ab/a+b+bc/b+c+ca/c+a<=(a+b+b+c+c+a)/4=(a+b+c)/2(đpcm)