Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow x^2-4x+5+3\sqrt{x^2-4x+5}-2=0\)
Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t>0\)
\(\Rightarrow t^2+3t-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{2}\\t=\dfrac{-3-\sqrt{17}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2-4x+5=\dfrac{13-3\sqrt{17}}{2}\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+\dfrac{-3+3\sqrt{17}}{2}=0\)
\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4^2-2\left(\dfrac{-3+3\sqrt{17}}{2}\right)=19-3\sqrt{17}\)
Đặt \(\sqrt{x^2+5x+10}=a\ge0\)
\(PT\Leftrightarrow a^2+2a-8=0\\ \Leftrightarrow a=2\left(a\ge0\right)\\ \Leftrightarrow x^2+5x+10=4\\ \Leftrightarrow x^2+5x+6=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=-2\\x_2=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=4+9=13\)
Vậy ...
Đặt \(\sqrt{x^2+5x+10}=t>0\Rightarrow x^2+5x=t^2-10\)
Phương trình trở thành:
\(t^2-10+2+2t=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+2t-8=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+5x+10}=2\)
\(\Leftrightarrow x^2+5x+6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=-3\end{matrix}\right.\)
1.
Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\Rightarrow x^2-4x=t^2-5\)
Pt trở thành:
\(4t=t^2-5+2m-1\)
\(\Leftrightarrow t^2-4t+2m-6=0\) (1)
Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb đều lớn hơn 1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4-\left(2m-6\right)>0\\\left(t_1-1\right)\left(t_2-1\right)>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}>1\\\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-2m>0\\t_1t_2-\left(t_1+t_1\right)+1>0\\t_1+t_2>2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 5\\2m-6-4+1>0\\4>2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\dfrac{9}{2}< m< 5\)
2.
Để pt đã cho có 2 nghiệm:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\\Delta'=1+4\left(m-3\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\m\ge\dfrac{11}{4}\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(x_1^2+x_2^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{8}{m-3}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{2}{m-3}-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{m-3}=-1-\sqrt{2}\\\dfrac{1}{m-3}=-1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4-\sqrt{2}< \dfrac{11}{4}\left(loại\right)\\m=4+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Em kiểm tra lại đề bài, pt này chắc chắn là ko giải được
Đặt \(\sqrt[3]{2x-1}=t\Rightarrow2x=t^3+1\)
Ta được hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x^3+1=2t\\t^3+1=2x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^3-t^3=2t-2x\)
\(\Leftrightarrow\left(x-t\right)\left(x^2+xt+t^2\right)+2\left(x-t\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-t\right)\left(x^2+xt+t^2+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=t\) (do \(x^2+xt+t^2+2=\left(x+\dfrac{t}{2}\right)^2+\dfrac{3t^2}{4}+2>0\))
\(\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2x-1}\Leftrightarrow x^3=2x-1\)
\(\Leftrightarrow x^3-2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+x-1\right)=0\)
Tới đây bấm máy hoặc dùng Viet
\(\Leftrightarrow2m.2^x+\left(2m+1\right)\left(3-\sqrt{5}\right)^x+\left(3+\sqrt{5}\right)^x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x+\left(2m+1\right)\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x+2m< 0\)
Đặt \(t=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x,0< t\le1\Rightarrow\frac{1}{t}=\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x\)
Phương trình trở thành :
\(t+\left(2m+1\right)\frac{1}{t}+2m=0\) (*)
a. Khi \(m=-\frac{1}{2}\) ta có \(t=1\) suy ra \(\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x=1\Leftrightarrow x=0\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=0\)
b. Phương trình (*) \(\Leftrightarrow t^2+1=-2m\left(t+1\right)\Leftrightarrow\frac{t^2+1}{t+1}=-2m\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^2+1}{t+1};t\in\)(0;1]
Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{t^2+2t+1}{\left(t+1\right)^2}\Rightarrow f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow=-1+\sqrt{2}\)
t f'(t) f(t) 0 1 0 - + 1 1 -1 + căn 2 2 căn 2 - 2
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm đúng
\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}-2\le-2m\le1\Leftrightarrow\sqrt{2}-1\ge m\ge-\frac{1}{2}\)
Vậy \(m\in\left[-\frac{1}{2};\sqrt{2}-1\right]\) là giá trị cần tìm
ĐK: \(x\ge2\)
\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x-2}=3\sqrt{x^2-4}\)
\(\Leftrightarrow x-2=9x^2-36\)
\(\Leftrightarrow9x^2-x-34=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-\dfrac{17}{9}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2=4\)