K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LH
1
29 tháng 1 2020
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng phân thức, ta có :
\(P=\)\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2x+2y+2z}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\left(x+y+z\right)}=\frac{2^2}{2.2}=1\)
Dấu " = ' xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
Vậy : \(MinP=1\)\(\Leftrightarrow x=y=z\)
LH
0
6 tháng 7 2018
Do \(x;y;z>0\) và \(x^2+y^2+z^2=3\)
Nên \(0< x;y;z< \sqrt{3}\)
Ta có: \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9x}+\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}\)
\(\Rightarrow A\ge x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}+z+\frac{1}{z}-\frac{1}{9x}-\frac{1}{9y}-\frac{1}{9z}\)
\(\Leftrightarrow A\ge x+\frac{8}{9x}+y+\frac{8}{9y}+z+\frac{8}{9z}\)
Ta chứng minh: \(x+\frac{8}{9x}\ge\frac{x^2+33}{18}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge\)
Do đó \(A\ge\frac{x^2+y^2+z^2+99}{18}=\frac{102}{18}=\frac{17}{3}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
6 tháng 7 2018
Dòng thứ 3 từ dưới lên là \(\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge0\)
Đúng do \(0< x< \sqrt{3}< 16\)
LH
1
G
24 tháng 2 2019
\(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\right)-\left(xy+yz+xz\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+xz\right)\)
Mặt khác: \(xy+yz+xz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+xz\right)\ge\left(x+y+z\right)^2-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=9-3=6\)
"=" khi a=b=c=1
2 tháng 1 2019
a) \(A=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}+\frac{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
\(=\frac{2\left(y-z\right)\left(z-x\right)+2\left(x-y\right)\left(z-x\right)+2\left(x-y\right)\left(y-z\right)+\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
\(=\frac{\left[\left(x-y\right)+\left(y-z\right)+\left(z-x\right)\right]^2}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=\frac{\left(x-y+y-z+z-x\right)^2}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=0\)
Áp dụng: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
2 tháng 1 2019
b)Ta có: \(\frac{x^2}{y+z}+x=\frac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}=\frac{x^2+xy+xz}{y+z}=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}\)
Tương tự: \(\frac{y^2}{x+z}+y=\frac{y^2+xy+zy}{x+z}=\frac{y\left(x+y+z\right)}{x+z}\)
\(\frac{z^2}{x+y}+z=\frac{z^2+xz+zy}{x+y}=\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}\)
Suy ra: \(A+\left(x+y+z\right)\)
\(=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}+\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+1\right)\)
\(=2.\left(x+y+z\right)\)
Nên \(A=2.\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)=x+y+z\)
Mình có sai chỗ nào không nhỉ?
DL
1
BT
16 tháng 3 2018
Ta có: x+5y=21 và 2x+3z=51
=> x+5y+2x+3z=21+51
<=> 3x+3y+3z+2y=72
<=> 3(x+y+z)=72-2y
=> \(x+y+z=\frac{72-2y}{3}=24-\frac{2y}{3}\)
=> \(A=\left(x+y+z\right)^2=\left(24-\frac{2y}{3}\right)^2\)
Do \(y\ge0\)=> Để A đạt GTLN thì y đạt GTNN
Mà GTNN của y là y=0 => \(A_{max}=\left(24-\frac{2y}{3}\right)^2=\left(24-\frac{2}{3}.0\right)^2=24^2=576\)
Đáp số: Amax=576
G
6 tháng 12 2017
\(x+y+z=0\) => \(x+y=-z\) => \(\left(x+y\right)^2=z^2\)
=> \(x^2+2xy+y^2=z^2\)
=> \(z^2-x^2-y^2=2xy\)
Tương tự:
\(x^2-y^2-z^2=2yz\)
\(y^2-z^2-x^2=2zx\)
Thay vào tính M ta có:
\(M=\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}+\frac{z^2}{2xy}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\right)\) (*)
Ta lại có: x + y + z = 0
=> x + y = -z => \(\left(x+y\right)^3=-z^3\)
=> \(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=-z^3\)
=> \(x^3+y^3+z^3=-3x^2y-3xy^2\)
=> \(x^3+y^3+z^3=-3xy\left(x+y\right)\)
=> \(x^3+y^3+z^3=-3xy\left(-z\right)\) (vì x + y = -z)
=> \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Thay vào (*) ta có:
\(M=\frac{1}{2}\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)