Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(S=3C_0^n+\left(4+3\right)C_n^1+\left(4.2+3\right)C_n^2+...+\left(4n+3\right)C_n^n=S_1+S_2\)
Với \(S_1=3\left(C_n^0+C_n^1+...+C_n^n\right)\)
Dễ dàng thấy \(S_1=3.2^n\)
\(S_2=4.C_n^1+4.2C_n^2+...+4.n.C_n^n=4\left(1C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n\right)\)
Nhận thấy tất cả các số hạng \(S_2\) đều có dạng \(k.C_n^k\)
Ta có: \(k.C_n^k=k.\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\dfrac{n!}{\left(k-1\right)!\left(n-k\right)!}=n.\dfrac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!.\left[\left(n-1\right)-\left(k-1\right)\right]!}=n.C_{n-1}^{k-1}\)
Nên:
\(S_2=4\left(nC_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+...+nC_{n-1}^{n-1}\right)=4n.2^{n-1}=2n.2^n\)
Vậy \(S=S_1+S_2=\left(2n+3\right).2^n\)
\(P=\frac{1}{4a+2b+3}+\frac{1}{4b+\frac{2}{c}+3}+\frac{1}{2a+\frac{4}{c}+3}\)
Đặt \(\left(2a;2b;\frac{2}{c}\right)=\left(x^2;y^2;z^2\right)\Rightarrow x^2y^2z^2=\frac{8ab}{c}=1\Rightarrow xyz=1\)
\(P=\frac{1}{2x^2+y^2+3}+\frac{1}{2y^2+z^2+3}+\frac{1}{2z^2+x^2+3}\)
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+x^2+1+2}+\frac{1}{y^2+z^2+y^2+1+2}+\frac{1}{z^2+x^2+z^2+1+2}\)
\(P\le\frac{1}{2xy+2x+2}+\frac{1}{2yz+2y+2}+\frac{1}{2zx+2x+2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P_{max}=\frac{1}{2}\Rightarrow S=4\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)=1\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=1\)
Mà \(a\le b\le c\Rightarrow1\le2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\right)\)
\(\Rightarrow a^2\le6\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=2\end{matrix}\right.\)
- Với \(a=1\Rightarrow bc=2\left(1+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow bc-2b-2c+4=6\)
\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)\left(c-2\right)=6\) (pt ước số cơ bản, bạn tự giải)
- Với \(a=2\Rightarrow2bc=2\left(2+b+c\right)\)
\(\Rightarrow bc-b-c+1=3\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)=3\)
\(\left(x+2\right)^n=C^0_n\cdot x^n+C^1_n\cdot x^{n-1}\cdot2+...+C^n_n\cdot2^n\)(1)
Tổng các hệ số trong khai triển (1) là;
(1+2)^n=3^n
=>3^n=243
=>n=5