Question

[Đỗ Nguyễn Hoàng Huy]

tìm nghiệm nguyên của phương trình x⁴ = y² +\(\sqrt{y+1}\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

ĐKXĐ: \(y\ge-1\)

- Với \(y=-1\Rightarrow x^4=1\Rightarrow x=\pm1\)

- Với \(y=0\Rightarrow x=\pm1\)

- Với \(y\ge1\Rightarrow\sqrt{y+1}>1\Rightarrow y+1>\sqrt{y+1}\) (1)

\(x^4-y^2=\sqrt{y+1}\Leftrightarrow\left(x^2-y\right)\left(x^2+y\right)=\sqrt{y+1}>1\)

Do \(x^2+y>0\Rightarrow x^2-y>0\Rightarrow x^2>y\Rightarrow x^2>1\Rightarrow x^2+y>1+y\) (2)

Lại có do x, y nguyên nên: \(x^2-y>0\Rightarrow x^2>y\Rightarrow x^2\ge y+1\Rightarrow x^2-y\ge1\) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

\(\left(x^2-y\right)\left(x^2+y\right)>1.\left(y+1\right)>\sqrt{y+1}\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho vô nghiệm với mọi \(y\ge1\)

Vậy nghiệm nguyên của pt là: \(\left(x;y\right)=\left(-1;-1\right);\left(-1;0\right);\left(1;-1\right);\left(1;0\right)\)