NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 5 2019
Câu 1:
\(x+y=2\Rightarrow y=2-x\)
\(\Rightarrow A=x^2+2\left(2-x\right)^2+x-2\left(2-x\right)+1\)
\(A=x^2+2x^2-8x+8+x-4+2x+1\)
\(A=3x^2-5x+5\)
\(A=3\left(x^2-2.\frac{5}{6}x+\frac{25}{36}\right)+\frac{35}{12}\)
\(A=3\left(x-\frac{5}{6}\right)^2+\frac{35}{12}\ge\frac{35}{12}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\frac{35}{12}\) khi \(x=\frac{5}{6}\) ; \(y=\frac{7}{6}\)
Câu 2:
\(x+2y=1\Rightarrow x=1-2y\)
\(\Rightarrow B=\left(1-2y\right)^2-5y^2+3\left(1-2y\right)-y-2\)
\(B=4y^2-4y+1-5y^2+3-6y-y-2\)
\(B=-y^2-11y+2\)
\(B=-\left(y^2+11y+\frac{121}{4}\right)+\frac{129}{4}\)
\(B=-\left(y+\frac{11}{2}\right)^2+\frac{129}{4}\le\frac{129}{4}\)
\(\Rightarrow B_{max}=\frac{129}{4}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}y=-\frac{11}{2}\\x=12\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 5 2019
Câu 3:
Ta có:
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2\left|xy\right|\Rightarrow2\left|xy\right|\le4\Rightarrow\left|xy\right|\le2\Rightarrow x^2y^2\le4\)
\(D=\left(x^2\right)^3+\left(y^2\right)^3+x^4+y^4\)
\(D=\left(x^2+y^2\right)\left[\left(x^2+y^2\right)^2-3x^2y^2\right]+\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2\)
\(D=4\left(16-3x^2y^2\right)+16-2x^2y^2\)
\(D=80-14x^2y^2\ge80-14.4=24\)
\(\Rightarrow D_{min}=24\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=2\\y^2=2\end{matrix}\right.\)
31 tháng 1 2017
Đặt x + y = t
=> A = t + 1
Ta có: x2+2xy+7(x+y)+2y2+10=0
<=> (x2 + 2xy + y2) + 7(x + y) + 10 + y2 = 0
<=> (x + y)2 + 7(x + y) + 10 = - y2
<=> t2 + 7t + 10 = - y2 \(\le\)0
<=> \(-5\le t\le-2\)
<=> \(-4\le t+1\le-1\)
<=> \(-4\le A\le-1\)
Vậy GTLN là A = - 1dấu bằng xảy ra khi x = - 2, y = 0; GTNN là A = - 4 dấu bằng xảy ra khi x = - 5, y = 0
DT
0
NP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 7 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^6+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^6}{64}}=\frac{3}{4}x^2$
$y^6+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{4}y^2$
Cộng 2 BĐT trên và thu gọn theo vế thì:
$A+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{4}(x^2+y^2)$
$\Leftrightarrow A+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow A\geq \frac{1}{4}$
--------------------
Lại có:
$x^2+y^2=1\Rightarrow x^2\leq 1; y^2\leq 1\Rightarrow x^4\leq 1; y^4\leq 1$
Khi đó:
$x^6\leq x^2; y^6\leq y^2$
$\Rightarrow x^6+y^6\leq x^2+y^2$
$\Rightarrow A\leq 1$
Vậy $A_{\min}=\frac{1}{4}; A_{\max}=1$
TL
7
TN
19 tháng 4 2017
Bên học24 mình đã xài \(\Delta\) vậy bên này mình sẽ xài HĐT kiểu Cosi như ý bn :))
Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}\) ta có:
\(x^2+y^2=4+xy\le4+\frac{x^2+y^2}{2}\)
\(\Rightarrow A\le4+\frac{A}{2}\Rightarrow A\le8\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\pm2\)
*)Nếu \(xy\ge0\Rightarrow A\ge4\)
*)Nếu \(xy< 0\). WLOG \(x>0;y< 0\). \(y\rightarrow-z\left(z>0\right)\)
Have \(\frac{A}{4}=\frac{x^2+y^2}{4}=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2-xy}\)
\(=1+\frac{xy}{x^2+y^2+xy}=1-\frac{zx}{x^2+z^2+xz}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}x^2+z^2\ge2xz\\x^2+z^2+xz\ge3xz\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{xz}{x^2+z^2+zx}\le\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{A}{4}=1-\frac{zx}{x^2+z^2+xz}\ge1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\Rightarrow A\ge\frac{8}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{\sqrt{3}}\\y=-\frac{2}{\sqrt{3}}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=-\frac{2}{\sqrt{3}}\\y=\frac{2}{\sqrt{3}}\end{cases}}\)
PT
1
DH
20 tháng 11 2019
Theo bài ra ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}4x^2+y^2=4\\x^2-3xy+2y^2=M\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4Mx^2+My^2=4M\\4x^2-12xy+8y^2=7M\end{matrix}\right.\)
Từ hệ trên suy ra: \(x^2\left(4M-4\right)+12xy+My^2-8y^2=0\)
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn x
Xét trường hợp y = 0, phương trình trở thành: \(x^2\left(4M-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\M=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}M=0\left(x=y=0\right)\\M=1\end{matrix}\right.\)
Với y khác 0, chia cả 2 vế cho \(y^2\) và đặt \(t=\frac{x}{y}\) ta được:
\(\left(4M-4\right)t^2-12t+M-8=0\)
Với \(M=1\) thì \(t=-\frac{7}{12}\)
Với M khác 1 thì:
\(\Delta'\) \(=36-\left(4M-4\right)\left(M-8\right)=36-\left(4M^2-36M+32\right)=-4M^2+36M+4\)
Phương trình có nghiệm khi \(\Delta'=-4M^2+36M+4\ge0\)
Vậy \(\frac{9-\sqrt{85}}{2}\le M\le\frac{9+\sqrt{85}}{2}\)
\(Min\) của \(M=\frac{9-\sqrt{85}}{2}\)
\(Max\) của \(M=\frac{9+\sqrt{85}}{2}\)