Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương a,b,c:
\(x^3+1+1\ge3\sqrt[3]{x^3.1.1}=3x\left(1\right)\)
Hoàn toàn tương tự, ta đc: \(y^3+1+1\ge3y\left(2\right)\)
Và: \(z^3+1+1\ge3z\left(3\right)\)
Cộng (1)(2)(3) VTV: \(Q+6\ge3\left(x+y+x\right)=3.3=9\)
\(\Leftrightarrow Q\ge9-6=3\Rightarrow Q_{Min}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Câu 1:
\(x+y=2\Rightarrow y=2-x\)
\(\Rightarrow A=x^2+2\left(2-x\right)^2+x-2\left(2-x\right)+1\)
\(A=x^2+2x^2-8x+8+x-4+2x+1\)
\(A=3x^2-5x+5\)
\(A=3\left(x^2-2.\frac{5}{6}x+\frac{25}{36}\right)+\frac{35}{12}\)
\(A=3\left(x-\frac{5}{6}\right)^2+\frac{35}{12}\ge\frac{35}{12}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\frac{35}{12}\) khi \(x=\frac{5}{6}\) ; \(y=\frac{7}{6}\)
Câu 2:
\(x+2y=1\Rightarrow x=1-2y\)
\(\Rightarrow B=\left(1-2y\right)^2-5y^2+3\left(1-2y\right)-y-2\)
\(B=4y^2-4y+1-5y^2+3-6y-y-2\)
\(B=-y^2-11y+2\)
\(B=-\left(y^2+11y+\frac{121}{4}\right)+\frac{129}{4}\)
\(B=-\left(y+\frac{11}{2}\right)^2+\frac{129}{4}\le\frac{129}{4}\)
\(\Rightarrow B_{max}=\frac{129}{4}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}y=-\frac{11}{2}\\x=12\end{matrix}\right.\)
Câu 3:
Ta có:
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2\left|xy\right|\Rightarrow2\left|xy\right|\le4\Rightarrow\left|xy\right|\le2\Rightarrow x^2y^2\le4\)
\(D=\left(x^2\right)^3+\left(y^2\right)^3+x^4+y^4\)
\(D=\left(x^2+y^2\right)\left[\left(x^2+y^2\right)^2-3x^2y^2\right]+\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2\)
\(D=4\left(16-3x^2y^2\right)+16-2x^2y^2\)
\(D=80-14x^2y^2\ge80-14.4=24\)
\(\Rightarrow D_{min}=24\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x^2=2\\y^2=2\end{matrix}\right.\)
Bài 2. a/ \(1\le a,b,c\le3\) \(\Rightarrow\left(a-1\right).\left(a-3\right)\le0\) , \(\left(b-1\right)\left(b-3\right)\le0\), \(\left(c-1\right).\left(c-3\right)\le0\)
Cộng theo vế : \(a^2+b^2+c^2\le4a+4b+4c-9\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{a^2+b^2+c^2+9}{4}=7\)
Vậy min E = 7 tại chẳng hạn, x = y = 3, z = 1
b/ Ta có : \(x+2y+z=\left(x+y\right)+\left(y+z\right)\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)
Tương tự : \(y+2z+x\ge2\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) , \(z+2y+x\ge2\sqrt{\left(z+y\right)\left(y+x\right)}\)
Nhân theo vế : \(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge8\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) hay
\(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge64\)
vì \(x^2+y^2+z^2=1\)
\(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)
\(2P=2\left(xy+xz+yz\right)+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(x-z\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2-2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\)
\(2P-2=-\left(x-y\right)^2-\left(x-z\right)^2-\left(y-z\right)^2+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(x-z\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\)
\(2P-2=\left(x^2-1\right)\left(y-z\right)^2+\left(y^2-1\right)\left(x-z\right)^2+\left(z^2-1\right)\left(x-y\right)^2\le0\)
\(2P-2\le0\)
\(2P\le2\)
\(P\le1\)
GTLN P là 1 khi x=y=z=\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
tth_new_dep_trai_lai_lang_solo_SOS_Ji_Chen_tuoi_tom nhờ mình đăng hộ nha!
Theo bài ra ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}4x^2+y^2=4\\x^2-3xy+2y^2=M\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4Mx^2+My^2=4M\\4x^2-12xy+8y^2=7M\end{matrix}\right.\)
Từ hệ trên suy ra: \(x^2\left(4M-4\right)+12xy+My^2-8y^2=0\)
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn x
Xét trường hợp y = 0, phương trình trở thành: \(x^2\left(4M-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\M=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}M=0\left(x=y=0\right)\\M=1\end{matrix}\right.\)
Với y khác 0, chia cả 2 vế cho \(y^2\) và đặt \(t=\frac{x}{y}\) ta được:
\(\left(4M-4\right)t^2-12t+M-8=0\)
Với \(M=1\) thì \(t=-\frac{7}{12}\)
Với M khác 1 thì:
\(\Delta'\) \(=36-\left(4M-4\right)\left(M-8\right)=36-\left(4M^2-36M+32\right)=-4M^2+36M+4\)
Phương trình có nghiệm khi \(\Delta'=-4M^2+36M+4\ge0\)
Vậy \(\frac{9-\sqrt{85}}{2}\le M\le\frac{9+\sqrt{85}}{2}\)
\(Min\) của \(M=\frac{9-\sqrt{85}}{2}\)
\(Max\) của \(M=\frac{9+\sqrt{85}}{2}\)